动态规划

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一 . 定义

　　1 . 动态规划是运筹学中用于求解决策过程中最优化数学方法 。

　　2 . 如果问题是交叠的子问题构成 ， 我们就可以用动态规划来解决它 。

 

动态规划的思想是什么：记忆，空间换时间，不重复求解，由交叠子问题从较小问题解逐步决策，构造较大问题的解。

 

动归解决问题的一般思路 ：

　　1 . 将原问题分解成若干的子问题 。

　　　　由于子问题 与 原问题规模相同或相似 ， 所以当子问题解决时 ， 原问题也就相当于解决 。

　　　　子问题的解一旦求出就会被保存 ， 所以所有的子问题都只被求了一次 。

　　2 . 确定状态

　　　　和子问题相关的各个变量的一组取值 ， 称之为一组 “状态” ， 一个 “状态” 对应一个或多个子问题 ， 所谓某个 “状态” 下的值 ， 就是这个 “ 状态” 所对应子问题的解 。

　　　　所有状态的集合 ，构成问题的 “状态空间 ” ， “状态空间” 的大小 与解决问题的时间复杂度有关 。

　　3 . 确定状态转移方程

　　　　定义出什么是 “状态” ， 以及在该状态下的“值” ，就要找出不同状态之间是如何迁移的 ，即如何从一个或多个“值”已知的 “状态” ， 求出另一个 “状态” 的 “值”  （递推型） 。

　　　　状态的迁移可以用递推公示表示 ， 此递推公示也叫做 “状态转移方程” 。

 

举例 （ 数字三角形的状态转移方程 ） ：

 

　Maxsum[ i ][ j ] = {  pre[ i ] [ j ]          i == n ;

               max ( Maxsum[i+1][ j ] , Maxsum[ i + 1 ] [ j + 1 ] ) + pre[ i ] [ j ] ;     其它的情况

　　

能用动态规划解决问题的特点 ：

　　1 . 具有最优子结构特点 。 如果问题的最优解所包含的子问题的解也是最优的 ， 我们就称该问题具有最优子结构性质 。

　　2 . 无后效性 。 当前的若干状态值一旦确定 ， 则此后过程的演变 ， 只和这若干个状态的值有关 ， 和之前采取何种手段 走哪条路径演变到当前的若干个状态 ， 没有关系 。

 

 二 . 分类

　　　1、简单基础dp

　　　主要包括递推、背包、LIS（最长递增序列），LCS（最长公共子序列），下面针对这几种类型，推荐一下比较好的学习资料和题目。

　　　　　1、递推：

 

　　　　　递推一般形式比较单一，从前往后，分类枚举就行。

　　　　　　　简单 ：   HDU 2084 数塔    /       POJ  1163 数字三角形

　　　　　　　　　　　Fibonacci  类型的题目

　　　　　　　　　　　递推找公示的题目