字典树学习笔记

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字典树

字典树(Trie)简介

又称单词查找树，Trie树，是一种树形结构，是一种哈希树的变种。典型应用是用于统计，排序和保存大量的字符串（但不仅限于字符串），所以经常被搜索引擎系统用于文本词频统计。它的优点是：利用字符串的公共前缀来减少查询时间，最大限度地减少无谓的字符串比较，查询效率比哈希树高。
——百度百科

字典树是一种树形结构，用于用于统计，排序和保存大量的字符串。

$$\scriptsize\color{grey}{字典树(Trie)}$$

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$

$$\scriptsize\color{grey}{字典树(Trie)}$$

字典树概念

假设现在有六个字符串，分别是：“ac”、“ace”、“acu”、“wa”、“who”、“pc”，用这几个字符串构造Trie
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$

$$\scriptsize\color{grey}{字典树构造}$$

$$\color{red}{注意，其中灰色的点表示该节点是一个字符串结束的位置}$$

字典树的运作（图解）

1.插入(建树)

插入字符串的思路很简单，假设现在我们要在一棵空Trie中按顺序插入“ac”、“ace”、“acu”、“wa”、“who”、“pc”

0.插入前

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$

$$\scriptsize\color{grey}{一颗空树}$$

1. 插入“ac”

我们发现当前节点(root)没有“a”，于是新建一个节点“a”；同样的，我们也在“a”下新建一个节点“c”，“c”标记为灰色
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$

$$\scriptsize\color{grey}{插入ac}$$

2. 插入“ace”

我们发现当前节点(root)有“a”，于是经过节点“a”；同样的，我们也经过“a”节点“c”，“c”标记为灰色；我们发现当前节点(“c”)没有“e”，于是新建一个节点“e”，“e”标记为灰色

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$

$$\scriptsize\color{grey}{插入ace}$$

3. 插入“acu”

我们发现当前节点(root)有“a”，于是经过节点“a”；同样的，我们也经过“a”节点“c”，“c”标记为灰色；我们发现当前节点(“c”)没有“u”，于是新建一个节点“u”，“u”标记为灰色

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$

$$\scriptsize\color{grey}{插入acu}$$

4. 插入“wa”

我们发现当前节点(root)没有“w”，于是新建一个节点“w”；同样的，我们也在“w”下新建一个节点“a”，“a”标记为灰色

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$

$$\scriptsize\color{grey}{插入wa}$$

5. 插入“who”

我们发现当前节点(root)有“w”，于是经过节点“w”；我们发现当前节点(“w”)没有“h”，于是新建一个节点“h”；同样的，我们发现当前节点(“w”)没有“o”，于是也新建一个节点“o”，“o”标记为灰色

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$

$$\scriptsize\color{grey}{插入who}$$

6. 插入“pc”

我们发现当前节点(root)没有“p”，于是新建一个节点“p”；同样的，我们也在“p”下新建一个节点“c”，“c”标记为灰色
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$

$$\scriptsize\color{grey}{插入pc}$$

全程

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$

$$\scriptsize\color{grey}{插入全程}$$

$${\color{80,80,100} {\Large \mathsf{插入(建树)就这样结束了，Trie的插入思路可以总结为一点：\mathbf{如果有就过，没有就新建}} } }$$

2.查找

• 假设我们要查找“acu”这个字符串，我们需要顺着树边往下找
  $\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$

$$\scriptsize\color{grey}{字典树查找acu}$$

如果最终的那个点是灰色（该节点是一个字符串结束的位置），查找就完成了，该字符串存在

• 再假设我们要查找“what”这个字符串
  $\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$

$$\scriptsize\color{grey}{字典树查找what}$$

当找到“a”时，发现没有“a”,这时可以直接返回没找到，不用继续找下去了！

字典树实现

编码函数：

int num(char x){//编码 
	if(x>='0'&&x<='9')return x-'0';
	else if(x>='A'&&x<='Z')return x-'A'+10;
	else return x-'a'+36;
}

1.构建字典树

不用建结构体，只需开两个数组，一个变量，分别记录每个点每个字母下一个去的点的编号，该点是否是一个字符串结束的位置，点的编号

int nex[100001][30]={0},cnt=0;
bool b[100001];

我们可以通过存储每个点每个字母下一个要去哪个点，这样就可以实现树上的移动了
如果代码不明白可以回顾一下上文插入方法

void insert(string s){
    int p=0;//此点编号 
   	for(int i=0;i<s.size();i++){
      	int x=num(s[i]);//编码 
		if(!nex[p][x])nex[p][x]=++cnt;//没有点就新建 
		p=nex[p][x];//更新所在点 
		b[p]++;//前缀增加 
	}
}  

调用入口:insert(s);

2.查找

按编号向下查找，如果没有这个点就返回没找到，一直找到最后就可以返回该点是否是一个字符串结束的位置
如果代码不明白可以回顾一下上文查找方法

int find(string s){
	int p=0;//此点编号 
	for(int i=0;i<s.size();i++){
		int x=num(s[i]);//编码 
		if(!nex[p][x])return 0;//没有点就返回0 
		p=nex[p][x];//更新所在点 
	}
	return b[p];//返回此点末尾是否存在 
}	

调用入口:find(s);(可以直接cout<<find(s);)

3.结构体封装

int num(char x){//编码(也可以不要)
	if(x>='0'&&x<='9')return x-'0';
	else if(x>='A'&&x<='Z')return x-'A'+10;
	else return x-'a'+36;
}	
struct Trie{
    int nex[100001][30],cnt=0;
	bool b[100001];
    void insert(string s){
    	int p=0;//此点编号 
   		for(int i=0;i<s.size();i++){
      		int x=num(s[i]);//编码 
			if(!nex[p][x])nex[p][x]=++cnt;//没有点就新建 
			p=nex[p][x];//更新所在点 
			if(i==s.size()-1)b[p]=1;//记录末尾 
		}
	}
    int find(string s){
		int p=0;//此点编号 
		for(int i=0;i<s.size();i++){
			int x=num(s[i]);//编码 
			if(!nex[p][x])return 0;//没有点就返回0 
			p=nex[p][x];//更新所在点 
		}
		return b[p];//返回此点末尾是否存在 
	}
};

调用入口:t.insert(s);
调用入口:t.find(s);(可以直接cout<<find(s);)

例题1

luogu P8306 【模板】字典树
板子题，只是查找的目的变了而已

点击查看题目

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int nex[3000010][70]={0},cnt=0,c[3000010];
int read(){//快读 
    int x=0,f=1;
    char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    return x*f;
}
int num(char x){//编码 
	if(x>='0'&&x<='9')return x-'0';
	else if(x>='A'&&x<='Z')return x-'A'+10;
	else return x-'a'+36;
}
void insert(string s){
    int p=0;//此点编号 
   	for(int i=0;i<s.size();i++){
      	int x=num(s[i]);//编码 
		if(!nex[p][x])nex[p][x]=++cnt;//没有点就新建 
		p=nex[p][x];//更新所在点 
		c[p]++;//前缀增加 
	}
}
int find(string s){
	int p=0;//此点编号 
	for(int i=0;i<s.size();i++) {
		int x=num(s[i]);//编码 
		if(!nex[p][x])return 0;//没有点就返回 
		p=nex[p][x];//更新所在点 
	}
	return c[p];//返回此点前缀
}	
int main(){
	int T,n,q;
	cin>>T;
	while(T--){
		n=read();
		q=read();
		for(int i=0;i<=cnt+10;i++)//初始化 
            for(int j=0;j<70;j++)
                nex[i][j]=0;
        for(int i=0;i<=cnt+10;i++)c[i]=0;
        cnt=0;
		for(int i=1;i<=n;i++){//构建字典树 
			string s;
			cin>>s;
			insert(s);
		} 
		for(int i=1;i<=q;i++){//查找 
			string s;
			cin>>s;
            printf("%d\n",find(s));
		} 
	}
	return 0;
}

总结

字典树是一种很有用的数据结构，它在统计，排序和保存大量的字符串方面有很大优势，此外，它还有其他许多功能，在练习中我们可以发现它的更多用处

题单

1. luogu P2580 于是他错误的点名开始了 思路:板子题，字符串结束点多一个点名次数标记就行了
2. luogu P8306 【模板】字典树 思路:板子题，已讲解
3. luogu P4551 最长异或路径 思路:01trie，把数转化为二进制字符串存入trie中，还要贪心一下