2023-01-18 20:49阅读: 40评论: 0推荐: 0

树状数组学习笔记

树状数组简介

树状数组或二叉索引树（英语：Binary Indexed Tree），又以其发明者命名为Fenwick树，最早由Peter M. Fenwick于1994年以A New Data Structure for Cumulative Frequency Tables为题发表在SOFTWARE PRACTICE AND EXPERIENCE。其初衷是解决数据压缩里的累积频率（Cumulative Frequency）的计算问题，现多用于高效计算数列的前缀和，区间和。
——百度百科

前置知识：lowbit

lowbit是指一个数最低位的 $1$

$4=(100)_2$ -> $lowbit(100)=(100)_2=4$ 即 $lowbit(4)=4$
$6=(110)_2$ -> $lowbit(110)=(10)_2=2$ 即 $lowbit(6)=2$
$7=(111)_2$ -> $lowbit(111)=(1)_2=1$ 即 $lowbit(7)=1$

树状数组

树状数组是一个可以快速处理前缀信息的数据结构

树状数组一般使用数组进行存储，数组中 $x$ 号节点，存储的是区间 $[x−lowbit(x)+1,x]$ 的信息和，利用这
一点可以在线性时间内建出树状数组），也可以实现全局的第 $k$ 小查询，其中 $tree[x]$ 表示 $\sum_{{i=x-lownit(x)+1}}^x a_i$

树 状 数 组

$\scriptsize\color{grey}{树状数组}$

树状数组特性：

每个内部节点 $tree[x]$ 保存以它为根的所有叶子节点的和
每个内部节点 $tree[x]$ 的子节点数等于 $lowbit(x)$ 的位数
每个内部节点 $tree[x]$ 的父节点是 $tree[x+lowbit(x)]$
树的深度为 $logn$

树状数组实现

1.建树

直接用加点函数循环

 int add(int x,int y){
	while(x<=n){
		t[x]+=y;//此节点赋值，所有祖先节点都增加（与前缀和一样）
		x+=x&-x;//与x=x+lowbit(x)等价	
	}
}

调用入口：

 for(int i=1;i<=n;i++){//点得一个一个加
	cin>>a[i];
	add(i,a[i]);
}

2.单点修改

修改函数与上面建树函数相同
我们如果更改点 $1$ ，需要更改的节点如图红圈部分：

更 改 点 1

$\scriptsize\color{grey}{更改点1}$

 int add(int x,int y){
	while(x<=n){
		t[x]+=y;//此节点同所有祖先节点都增加
		x+=x&-x;//与x=x+lowbit(x)等价	
	}
}

调用入口：add(x,a);

3.查询

我们如果查询区间 $[4,7]$ ，先求出区间 $[1,7]$ (红色线段表示)和区间 $[1,3]$ (蓝色线段表示)再相减（绿色线段表示），需要计算的节点如图红圈（区间 $[1,7]$ 需要计算的节点）及蓝圈（区间 $[1,3]$ 需要计算的节点）部分：

查 询 区 间 [4, 7]

$\scriptsize\color{grey}{查询区间[4,7]}$

 int ask(int x){
	int val=0;
	while(x>0){
		val+=t[x];//求出1-x的值
		x-=x&-x;//与x=x-lowbit(x)等价	
	}
	return val;//返回答案
}

调用入口：ask(r)-ask(l-1);

单点查询要借助区间查询，如果信息支持区间差的话，可以用 $[1, y]$ 的值减去 $[1, y − 1]$ 的值

 int ask(int x){
	int val=0;
	while(x>0){
		val+=t[x];//求出1-x的值
		x-=x&-x;//与x=x-lowbit(x)等价	
	}
	return val;//返回答案
}

调用入口：ask(x)-ask(x-1);

4.区间修改

区间修改得更改很多地方

建树

 int add(int x,int y){
	while(x<=n){
		t[x]+=y;//此节点赋值，所有祖先节点都增加（与前缀和一样）
		x+=x&-x;//与x=x+lowbit(x)等价	
	}
}

调用入口：

 for(int i=1;i<=n;i++){//点得一个一个加
	cin>>a[i];
	add(i,a[i]-a[i-1]);
}

修改

 int add(int x,int y){
	while(x<=n){
		t[x]+=y;//此节点同所有祖先节点都增加
		x+=x&-x;//与x=x+lowbit(x)等价	
	}
}

调用入口：

 add(l,k);
add(r+1,-k);

如果修改单点则把 $l,r$ 都赋值为 $x$

单点查询

调用入口变为：ask(x)

区间查询

这 个 人 颓 废 去 了 ， N 年 后 再 更

$这个人颓废去了，N年后再更$

树状数组到这就结束了，练习一下吧！

例题1

luogu P3374 【模板】树状数组 1

这题可以用用树状数组单点修改，区间查询来做

点击查看题目

 #include<bits/stdc++.h> 
using namespace std;
int t[500001],a[500001],n,m;
int add(int x,int y){
	while(x<=n){
		t[x]+=y;//此节点同所有祖先节点都增加
		x+=x&-x;//与x=x+lowbit(x)等价	
	}
}
int ask(int x){
	int val=0;
	while(x>0){
		val+=t[x];//求出1-x的值
		x-=x&-x;//与x=x-lowbit(x)等价	
	}
	return val;//返回答案
}
int main(){
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++){//点得一个一个加
		cin>>a[i];
		add(i,a[i]);
	}
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int flag,x,y;
		cin>>flag>>x>>y;
		if(flag==1){
			add(x,y);//增加y
		}else{
			cout<<ask(y)-ask(x-1)<<endl;//输出区间[x,y]的值
		}
	}
	return 0;
}

例题2

luogu P3368 【模板】树状数组 2

这题可以用用树状数组区间修改，单点查询来做

点击查看题目

 #include<bits/stdc++.h> 
using namespace std;
int t[500001],a[500001],n,m;
int add(int x,int y){
	while(x<=n){
		t[x]+=y;//此节点同所有祖先节点都增加
		x+=x&-x;//与x=x+lowbit(x)等价	
	}
}
int ask(int x){
	int val=0;
	while(x>0){
		val+=t[x];//求出1-x的值
		x-=x&-x;//与x=x-lowbit(x)等价	
	}
	return val;//返回答案
}
int main(){
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++){//点得一个一个加
		cin>>a[i];
		add(i,a[i]-a[i-1]);
	}
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int flag,x,y,k;
		cin>>flag>>x;
		if(flag==1){
			cin>>y>>k; 
			add(x,k);
			add(y+1,-k);//区间增加y
		}else{
			cout<<ask(x)<<endl;//输出点x的值
		}
	}
	return 0;
}

二维树状数组

先推式子

\sum_{i = 1}^{x} \sum_{j = 1}^{x} \sum_{x_{1} = 1}^{i} \sum_{x_{2} = 1}^{j} a_{x_{1}, y_{1}} = \sum_{i = 1}^{x} \sum_{j = 1}^{x} a_{i, j} \times (x + 1 - i) \times (y + 1 - j) = (x + 1) \times (y + 1) \times \sum_{i = 1}^{x} \sum_{j = 1}^{y} a_{i, j} - (y + 1) \times \sum_{i = 1}^{x} \sum_{j = 1}^{y} a_{i, j} \times i - (x + 1) \times \sum_{i = 1}^{x} \sum_{j = 1}^{y} a_{i, j} \times j + \sum_{i = 1}^{x} \sum_{j = 1}^{y} a_{i, j} \times i \times j

$\sum_{i=1}^{x} \sum_{j=1}^{x}\sum_{x_1=1}^{i} \sum_{x_2=1}^{j}a_{x_1,y_1}\\ =\sum_{i=1}^{x} \sum_{j=1}^{x} a_{i,j}\times(x+1-i)\times(y+1-j)\\ =(x+1)\times(y+1)\times\sum_{i=1}^{x}\sum_{j=1}^{y}a_{i,j}- (y+1)\times\sum_{i=1}^{x}\sum_{j=1}^{y}a_{i,j}\times i -(x+1)\times\sum_{i=1}^{x}\sum_{j=1}^{y}a_{i,j}\times j+\sum_{i=1}^{x}\sum_{j=1}^{y}a_{i,j}\times i\times j$

然后我们开 $4$ 个树状数组分别记录

\sum_{i = 1}^{x} \sum_{j = 1}^{y} a_{i, j} (1 式) ， \sum_{i = 1}^{x} \sum_{j = 1}^{y} a_{i, j} \times i (2 式) ， \sum_{i = 1}^{x} \sum_{j = 1}^{y} a_{i, j} \times j (3 式) ， \sum_{i = 1}^{x} \sum_{j = 1}^{y} a_{i, j} \times i \times j (4 式)

$\sum_{i=1}^{x}\sum_{j=1}^{y}a_{i,j}(1式)，\sum_{i=1}^{x}\sum_{j=1}^{y}a_{i,j}\times i(2式)，\sum_{i=1}^{x}\sum_{j=1}^{y}a_{i,j}\times j(3式)，\sum_{i=1}^{x}\sum_{j=1}^{y}a_{i,j}\times i\times j(4式)$

再利用二维差分实现区间修改，二维前缀和实现区间查询即可

P4514 上帝造题的七分钟

点击查看代码

 #include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int n,m;
struct twoBIT{
	int t[2500][2500][4];
	int add(int x,int y,int z){
		int nx=x;
		while(nx<=n){
			int ny=y;
			while(ny<=m){
				t[nx][ny][0]+=z;//1式sigma
				t[nx][ny][1]+=(x-1)*z;//2式sigma
				t[nx][ny][2]+=(y-1)*z;//3式sigma
				t[nx][ny][3]+=(x-1)*(y-1)*z;//4式sigma
				ny+=ny&-ny;
			}
			nx+=nx&-nx;	
		}
	}
	int ask(int x,int y){
		int val=0;
		int nx=x;
		while(nx>0){
			int ny=y;
			while(ny>0){
				val+=t[nx][ny][0]*x*y;//1式*系数 
				val-=t[nx][ny][1]*y;//2式*系数 
				val-=t[nx][ny][2]*x;//3式*系数 
				val+=t[nx][ny][3];//4式*系数1
				ny-=ny&-ny;
			}
			nx-=nx&-nx;
		}
		return val;
	}
}t1;
signed main(){
	char c;
	cin>>c>>n>>m;
	while(cin>>c){
        if(c=='L'){
        	int l1,r1,l2,r2,x;
        	cin>>l1>>r1>>l2>>r2>>x;
        	t1.add(l1,r1,x);
        	t1.add(l1,r2+1,-x);
        	t1.add(l2+1,r1,-x);
        	t1.add(l2+1,r2+1,x);//二维差分 
		}else{
			int l,r,l1,r1;
			cin>>l>>r>>l1>>r1;
			int ans=0;
			ans=t1.ask(l1,r1);
			ans-=t1.ask(l-1,r1);
			ans-=t1.ask(l1,r-1);
			ans+=t1.ask(l-1,r-1);//二维前缀和 
			cout<<ans<<endl;
		}
    }
	return 0;
}

求逆序对

二元逆序对

P1908 逆序对

排序后记录每个点原来的位置，对于每个数则加入树状数组，并求出它之前的数的数量 $h$ ，它的值即为 $i-h$ 。

点击查看代码

 #include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int n;
struct node{
	int a,i;
	bool operator <(const node &aa)const{
		if(a==aa.a)return i<aa.i;
		return a<aa.a;
	}
}a[1000001];
int rs[500010];
struct BIT{
	int t[500100];
	int add(int x,int y){
		while(x<=n){
			t[x]+=y;
			x+=x&-x;	
		}
	}
	int ask(int x){
		int val=0;
		while(x>0){
			val+=t[x];
			x-=x&-x;
		}
		return val;
	}
}t1;
signed main(){
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>a[i].a;
		a[i].i=i;
	}
	sort(a+1,a+n+1);//排序 
	for(int i=1;i<=n;i++){
		rs[a[i].i]=i;//记录每个值排序所在位置 
	}
	int ans=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
        t1.add(rs[i],1);//加入树状数组 
        ans+=i-t1.ask(rs[i]);//求有多少个在它之前,再反推 
    }
    cout<<ans<<endl;
	return 0;
}

三元逆序对

Enemy is weak

我们枚举中间的节点，再把前后大于且原 $i$ 值小于它和小于且原 $i$ 值大于它的节点数相乘即可。

点击查看代码

 #include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int n;
struct node{
	int a,i;
	bool operator <(const node &aa)const{
		if(a==aa.a)return i<aa.i;
		return a<aa.a;
	}
}a[1000001];
bool cmp(node a,node aa){
	if(a.a==aa.a)return a.i<aa.i;
	return a.a>aa.a;
}
int rs[1000010],rs2[1000010];
struct BIT{
	int t[1000100];
	int add(int x,int y){
		while(x<=n){
			t[x]+=y;
			x+=x&-x;	
		}
	}
	int ask(int x){
		int val=0;
		while(x>0){
			val+=t[x];
			x-=x&-x;
		}
		return val;
	}
}t1,t2;
int l1[1000001],r1[1000001];
signed main(){
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>a[i].a;
		a[i].i=i;
	}
	sort(a+1,a+n+1);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(a[i].a!=a[i-1].a||i==1)rs[a[i].i]=i;
		else rs[a[i].i]=rs[a[i-1].i];
	}
	int ans=0;
	for(int i=n;i>0;i--){
        l1[i]=t1.ask(rs[i]-1);
		t1.add(rs[i],1);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
		r1[i]=t2.ask(n-rs[i]);
    	t2.add(n-rs[i]+1,1);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		ans+=l1[i]*r1[i];
	}
    cout<<ans<<endl;
	return 0;
}

权值树状数组

核心代码：

点击查看代码

 struct BIT{
	int t[1000100];
	int add(int x,int y){
		while(x<=n){
			t[x]+=y;
			x+=x&-x;	
		}
	}
	int kth(int k){
    	int r=0,st=0,x,y;
    	for(int i=log2(n);i>=0;i--){
    		x=r+(1<<i),y=st+t[x];
        	if(x>n)continue;
       	 	if(y<k)r=x,st=y;
    	}
    	return r+1;
	}
};

上一篇线段树学习笔记

下一篇mardown表格 —— Mermaid 使用指南

本文作者：ccrui

本文链接：https://www.cnblogs.com/ccr-note/p/bitree.html

posted @ 2023-01-18 20:49 ccrui 阅读(40) 评论(0) 编辑收藏举报

刷新页面返回顶部

登录后才能查看或发表评论，立即登录或者逛逛博客园首页

ccr's notebook

算法笔记及题解

树状数组学习笔记

树状数组简介

前置知识：lowbit

树状数组

树状数组实现

1.建树

2.单点修改

3.查询

4.区间修改

建树

修改

单点查询

区间查询

例题1

例题2

二维树状数组

求逆序对

二元逆序对

三元逆序对

权值树状数组

公告

最新随笔

我的标签

随笔分类

文章分类

推荐排行榜

	int add(int x,int y){
	while(x<=n){
	t[x]+=y;//此节点赋值，所有祖先节点都增加（与前缀和一样）
	x+=x&-x;//与x=x+lowbit(x)等价
	}
	}

	for(int i=1;i<=n;i++){//点得一个一个加
	cin>>a[i];
	add(i,a[i]);
	}

	int add(int x,int y){
	while(x<=n){
	t[x]+=y;//此节点同所有祖先节点都增加
	x+=x&-x;//与x=x+lowbit(x)等价
	}
	}

	int ask(int x){
	int val=0;
	while(x>0){
	val+=t[x];//求出1-x的值
	x-=x&-x;//与x=x-lowbit(x)等价
	}
	return val;//返回答案
	}

	for(int i=1;i<=n;i++){//点得一个一个加
	cin>>a[i];
	add(i,a[i]-a[i-1]);
	}

	#include<bits/stdc++.h>
	using namespace std;
	int t[500001],a[500001],n,m;
	int add(int x,int y){
	while(x<=n){
	t[x]+=y;//此节点同所有祖先节点都增加
	x+=x&-x;//与x=x+lowbit(x)等价
	}
	}
	int ask(int x){
	int val=0;
	while(x>0){
	val+=t[x];//求出1-x的值
	x-=x&-x;//与x=x-lowbit(x)等价
	}
	return val;//返回答案
	}
	int main(){
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++){//点得一个一个加
	cin>>a[i];
	add(i,a[i]);
	}
	for(int i=1;i<=m;i++){
	int flag,x,y;
	cin>>flag>>x>>y;
	if(flag==1){
	add(x,y);//增加y
	}else{
	cout<<ask(y)-ask(x-1)<<endl;//输出区间[x,y]的值
	}
	}
	return 0;
	}

	#include<bits/stdc++.h>
	#define int long long
	using namespace std;
	int n,m;
	struct twoBIT{
	int t[2500][2500][4];
	int add(int x,int y,int z){
	int nx=x;
	while(nx<=n){
	int ny=y;
	while(ny<=m){
	t[nx][ny][0]+=z;//1式sigma
	t[nx][ny][1]+=(x-1)*z;//2式sigma
	t[nx][ny][2]+=(y-1)*z;//3式sigma
	t[nx][ny][3]+=(x-1)(y-1)z;//4式sigma
	ny+=ny&-ny;
	}
	nx+=nx&-nx;
	}
	}
	int ask(int x,int y){
	int val=0;
	int nx=x;
	while(nx>0){
	int ny=y;
	while(ny>0){
	val+=t[nx][ny][0]xy;//1式*系数
	val-=t[nx][ny][1]y;//2式系数
	val-=t[nx][ny][2]x;//3式系数
	val+=t[nx][ny][3];//4式*系数1
	ny-=ny&-ny;
	}
	nx-=nx&-nx;
	}
	return val;
	}
	}t1;
	signed main(){
	char c;
	cin>>c>>n>>m;
	while(cin>>c){
	if(c=='L'){
	int l1,r1,l2,r2,x;
	cin>>l1>>r1>>l2>>r2>>x;
	t1.add(l1,r1,x);
	t1.add(l1,r2+1,-x);
	t1.add(l2+1,r1,-x);
	t1.add(l2+1,r2+1,x);//二维差分
	}else{
	int l,r,l1,r1;
	cin>>l>>r>>l1>>r1;
	int ans=0;
	ans=t1.ask(l1,r1);
	ans-=t1.ask(l-1,r1);
	ans-=t1.ask(l1,r-1);
	ans+=t1.ask(l-1,r-1);//二维前缀和
	cout<<ans<<endl;
	}
	}
	return 0;
	}

	struct BIT{
	int t[1000100];
	int add(int x,int y){
	while(x<=n){
	t[x]+=y;
	x+=x&-x;
	}
	}
	int kth(int k){
	int r=0,st=0,x,y;
	for(int i=log2(n);i>=0;i--){
	x=r+(1<<i),y=st+t[x];
	if(x>n)continue;
	if(y<k)r=x,st=y;
	}
	return r+1;
	}
	};