直角梯形面积公式

直角梯形面积公式

\[S_梯ABCD=\frac{x\left ( y+z \right ) }{2} \]

0.建系

以DA延长线与CB延长线的交点作为原点，以过点O的铅垂线作为y轴，水平线作为x轴

1.求OB

易证：\(△AOB∽△DAE\)（三垂直:\(AE⊥AB,AB⊥OB,ED⊥AE\)）
所以有

\[\frac{AB}{DE} =\frac{OB}{AE} \]

又

\[AB=z,AE=x,DE=DC-EC=DC-AB=y-z \]

所以

\[OB=\frac{xz}{y-z} \]

2.求直线OB的表达式

当

\[x=OB=\frac{xz}{y-z} \]

时

\[y=z \]

又直线OB经过原点
所以直线OB可表示为

\[y=\frac{y-z}{x} x \]

3.积分表达式

\[{\Large \int_{\frac{xz}{y-z} }^{\frac{xz}{y-z}+x } \frac{y-z}{x} x dx } \]

4.计算

\[\int_{\frac{xz}{y-z} }^{\frac{xz}{y-z}+x } \frac{y-z}{x} x dx =\frac{y-z}{x} \left [ \frac{\left ( \frac{xz}{y-z}+x \right )^2 }{2}+c-\frac{\left ( \frac{xz}{y-z} \right )^2 }{2}-c \right ] = \frac{y-z}{x}\left [ \frac{x^2}{2}+\frac{x^2z}{y-z} \right ] =\frac{xy-xz}{2}+xz =\frac{xy+xz}{2} =\frac{x\left ( y+z \right ) }{2} \]

\[\mathbf{@ccrui}\\ \mathsf{https://www.luogu.com.cn/user/664158} \]