直角梯形面积公式

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直角梯形面积公式

$$S_梯ABCD=\frac{x\left ( y+z \right ) }{2}$$

0.建系

以DA延长线与CB延长线的交点作为原点，以过点O的铅垂线作为y轴，水平线作为x轴

1.求OB

易证：$△AOB∽△DAE$（三垂直:$AE⊥AB,AB⊥OB,ED⊥AE$）
所以有

$$\frac{AB}{DE} =\frac{OB}{AE}$$

又

$$AB=z,AE=x,DE=DC-EC=DC-AB=y-z$$

所以

$$OB=\frac{xz}{y-z}$$

2.求直线OB的表达式

当

$$x=OB=\frac{xz}{y-z}$$

时

$$y=z$$

又直线OB经过原点
所以直线OB可表示为

$$y=\frac{y-z}{x} x$$

3.积分表达式

$${\Large \int_{\frac{xz}{y-z} }^{\frac{xz}{y-z}+x } \frac{y-z}{x} x dx }$$

4.计算

$$\int_{\frac{xz}{y-z} }^{\frac{xz}{y-z}+x } \frac{y-z}{x} x dx =\frac{y-z}{x} \left [ \frac{\left ( \frac{xz}{y-z}+x \right )^2 }{2}+c-\frac{\left ( \frac{xz}{y-z} \right )^2 }{2}-c \right ] = \frac{y-z}{x}\left [ \frac{x^2}{2}+\frac{x^2z}{y-z} \right ] =\frac{xy-xz}{2}+xz =\frac{xy+xz}{2} =\frac{x\left ( y+z \right ) }{2}$$

$$\mathbf{@ccrui}\\ \mathsf{https://www.luogu.com.cn/user/664158}$$