递归介绍
在C++语言中，递归调用（recursive call）就是某一方法调用自身。这种自我调用通常是直接的，即在函数体中包含一条或多条调用自身的语句。递归也可能以间接的形式出现，即某个方法首先调用其它方法，再辗转通过其它方法的相互调用，最终调用起始的方法自身。
递归的价值在于，许多应用问题都可简洁而准确地描述为递归形式。以操作系统为例，多数文件系统的目录结构都是递归定义的。具体地，每个文件系统都有一个最顶层的目录，其中可以包含若干文件和下一层的子目录；而在每一子目录中，也同样可能包含若干文件和再下一层的子目录；如此递推，直至不含任何下层的子目录。通过如此的递归定义，文件系统中的目录就可以根据实际应用的需要嵌套任意多层（只要系统的存储资源足以支持）。
以下将从递归的基本模式入手，循序渐进地介绍如何选择和应用（线性递归、二分递归和多分支递归等）不同的递归形式，以实现（遍历、分治等）算法策略，以及如何利用递归跟踪和递推方程等方法分析递归算法的复杂度。
一、线性递归
数组求和问题：
1 sum（int A[],int n） //传入的参数是数组长度
2 {
3 if (n < 1) //平凡情况：递归基
4 return 0; //直接计算（非递归式）
5 else //一般情况
6 return sum(A,n - 1) + A[n-1] ; //递归：前n-1项之和，再累计第n-1项
7 } //O(1)*递归深度 = O(1)*(n+1) = O(n)
由此实例，可以看出保证递归算法有穷性的基本技巧：首先判断并处理n = 0之类的平凡情况，以免因无限递归而导致系统溢出。这类平凡情况统称“递归基”（base case of recursion）。平凡情况可能有多种，但至少要有一种（比如此处），且迟早必然会出现。
线性递归：
算法sum()可能朝着更深一层进行自我调用，且每一递归实例对自身的调用至多一次。于是，每一层次上至多只有一个实例，且它们构成一个线性的次序关系。此类递归模式因而称作“线性递归”（linear recursion），它也是递归的最基本形式。这种形式中，应用问题总可分解为两个独立的子问题：其一对应于单独的某个元素，故可直接求解（比如A[n - 1]）；另一个对应于剩余部分，且其结构与原问题相同（比如A[0, n - 1)）。另外，子问题的解经简单的合并（比如整数相加）之后，即可得到原问题的解。
线性递归的模式，往往对应于所谓减而治之（decrease-and-conquer）的算法策略：递归每深入一层，待求解问题的规模都缩减一个常数，直至最终蜕化为平凡的小（简单）问题。按照减而治之策略，此处随着递归的深入，调用参数将单调地线性递减。因此无论最初输入的n有多大，递归调用的总次数都是有限的，故算法的执行迟早会终止，即满足有穷性。当抵达递归基时，算法将执行非递归的计算（这里是返回0）。
递归算法时间和空间复杂度的分析与常规算法很不一样，有其自身的规律和特定的技巧，以下介绍递归跟踪与递推方程这两种主要的方法。
递归跟踪（recursion trace） 可以用来分析递归算法的总体运行时间和空间。就是按照如下原则，将递归算法的执行过程整理成图的形式：
- 算法的每个实例都表示为一个方框，其中注明了该实例的调用参数。
- 若实例M调用实例N，则在M与N对应的方框之间添加一条有向连接线。
该图清晰地给出了算法执行的整个过程：首先对参数n进行调用，再转向对参数n - 1的调用，再转向对参数n - 2的调用，...，直至最终的参数0。在抵达递归基后不再递归，而是将平凡的解（长度为0数组的总和0）返回给对参数1的调用；累加上A[0]之后，再返回给对参数2的调用；累加上A[1]之后，继续返回给对参数3的调用；...；如此依次返回，直到最终返回给对参数n的调用，此时，只需累加A[n - 1]即得到整个数组的总和。
从上图可以看出，整个算法所需的计算时间应该等于所有递归实例的创建、执行和销毁所需的时间总和。递归实例的创建、销毁均由操作系统负责完成，其对应的时间成本通常可以近似为常数，不会超过递归实例中实质计算步骤所需的时间成本，故往往均予忽略。为便于估算，启动各实例的每一条递归调用语句所需的时间，也可以计入被创建的递归实例的账上，如此我们只需统计各递归实例中非递归调用部分所需的时间。
此我们只需统计各递归实例中非递归调用部分所需的时间。具体地，就以上的sum()算法而言，每一递归实例中非递归部分所涉及的计算无非三类（判
断n是否为0、累加sum(n - 1)与A[n - 1]、返回当前总和），且至多各执行一次。鉴于它们均属于基本操作，每个递归实例实际所需的计算时间都应为常数O(3)。由图1.6还可以看出，对于长度为n的输入数组，递归深度应为n + 1，故整个sum()算法的运行时间为：(n + 1) * O(3) = O(n)
在创建了最后一个递归实例（即到达递归基）时，占用的空间量达到最大，准确地说，等于所有递归实例各自所占空间量的总和。这里每一递归实例所需存放的数据，无非是调用参数（数组A的起始地址和长度n）以及用于累加总和的临时变量。这些数据各自只需常数规模的空间，其总量也应为常数。故此可知，sum()算法的空间复杂度线性正比于其递归的深度，亦即O(n)。
递推方程：
将该算法处理长度为n的数组所需的时间成本记作T(n)。求解sum(A, n)所需的时间，应该等于求解sum(A, n - 1)所需的时间，另加一次整数加法运算所需的时间。
根据以上分析，可以得到关于T(n)的如下一般性的递推关系：
T(n) = T(n - 1) + O(1) = T(n - 1) + c1， 其中c1为常数
另一方面，当递归过程抵达递归基时，求解平凡问题sum(A, 0)只需（用于直接返回0的）常数时间。如此，即可获得如下边界条件：
T(0) = O(1) = c2， 其中c2为常数
联立以上两个方程，最终可以解得：
T(n) = c1n + c2 = O(n)
这一结论与递归跟踪分析殊途同归。另外，运用以上方法，同样也可以界定sum()算法的空间复杂度（习题[1-18]）。
二、递归模式：
为保证有穷性，递归算法都必须设置递归基，且确保总能执行。为此，针对每一类可能出现的平凡情况，都需设置对应的递归基，故同一算法的递归基可能（显式或隐式地）不止一个。
以下考查数组倒置问题，也就是将数组中各元素的次序前后翻转。
将数组A[ ] = { 3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6 }倒置为：A[ ] = { 6, 2, 9, 5, 1, 4, 1, 3 }
为得到整个数组的倒置，可以先对换其首、末元素，然后递归地倒置除这两个元素以外的部分。按照这一思路，可实现如 ：
1 void reverse(int *A,int lo,int hi){
2 if(lo < hi){
3 swap(A[lo],A[hi]); //交换A[lo]和A[hi]
4 reservse(A,lo+1,hi - 1); //递归倒置A[lo,hi]
5 }//else 隐含了两种递归基
6 };
三、递归消除
首先，从递归跟踪分析的角度不难看出，递归算法所消耗的空间量主要取决于递归深度（习题[1-17]），故较之同一算法的迭代版，递归版往往需耗费更多空间，并进而影响实际的运行速度。另外，就操作系统而言，为实现递归调用需要花费大量额外的时间以创建、维护和销毁各递归实例，这些也会令计算的负担雪上加霜。有鉴于此，在对运行速度要求极高、存储空间需精打细算的场合，往往应将递归算法改写成等价的非递归版本。
一般的转换思路，无非是利用栈结构（第4章）模拟操作系统的工作过程。这类的通用方法已超出本书的范围，以下仅针对一种简单而常见的情况，略作介绍。
尾递归及其消除：
在线性递归算法中，若递归调用在递归实例中恰好以最后一步操作的形式出现，则称作尾递归（tail recursion）。比如代码1.7中reverse(A, lo, hi)算法的最后一步操作，是对去除了首、末元素之后总长缩减两个单元的子数组进行递归倒置，即属于典型的尾递归。实际上，属于尾递归形式的算法，均可以简捷地转换为等效的迭代版本。
首先在起始位置添加一个跳转标志：然后将尾递归语句调用替换为一个指向next标志的跳转语句。
1 void reverse(int *A,int lo,int hi){ 2 next: 3 if(lo < hi) { 4 swap(A[lo] , A[hi]); //交换A[lo]和A[hi] 5 lo++; hi--; //收缩待倒置区间 6 goto next; //跳转到算法体的起始位置，迭代的倒置A（lo,hi） 7 } //else 隐含了迭代的终止 8 } //O（hi - lo + 1）
用如下算法替代：
vod reverse(int *A,int lo,int hi) { while(lo < hi) //用while替代if和next跳转标志，完全等效 swap(A[lo++],A[hi--]); //交换A[lo]和A[hi] } //O（hi-lo+1）
出现在尾部的语句并不一定是尾递归语句，只有当该算法（除了平凡递归以外），都终止于这一递归调用时，才属于尾递归。
四、斐波那契（Fibonacci）数：二分递归
考察Fibonacci数列的第n项fib(n)的计算问题，该数列递归形式的定义如下：
为消除递归算法中重复的递归实例，一种自然而然的思路和技巧，可以概括为：借助一定量的辅助空间，在各子问题求解之后，及时记录下其对应的解答。可以从原问题出发自顶而下，每当遇到一个子问题，都首先查验它是否已经计算过，以期通过直接调阅记录获得解答，从而避免重新计算。也可以从递归基出发，自底而上递推地得出各子问题的解，直至最终原问题的解。前者即所谓的制表（tabulation）或记忆（memoization）策略，后者即所谓的动态规划（dynamic programming）策略。
反观以上线性递归版fib()算法可见，其中所记录的每一个子问题的解答，只会用到一次。在该算法抵达递归基之后的逐层返回过程中，每向上返回一层，以下各层的解答均不必继续保留。若将以上逐层返回的过程，等效地视作从递归基出发，按规模自小而大求解各子问题的过程，即可采用动态规划的策略，将以上算法进一步改写为如代码1.14所示的迭代版。
_int64 fibI(int n) { //计算Fibonacci数列的第n项：O（n） _int 64 f = 0,g = 1; //初始化：fib(0) = 0, fib(1) = 1 while(0 < n--) { g += f;f = g -f ;} //依据原始定义，通过n次减法和加法计算fib(n) return f }
