斐波那契数列的GCD性质

众所周知,斐波那契数列是一个有很多特殊有趣性质的数列,那么我们今天就来证明其中之一:

gcd(Fn,Fm)=Fgcd(n,m)

首先,使用一些引理:

引理 1:如果 m|n,那么 Fm|Fn

证明:

这里 m|n,那我们不妨设 n=km,(k1)

  • k=1 时,显然成立。

那么只需要证明 k=ak=a+1 时同样成立即可。

既然已知 Fm|Fn,那么只要证 Fm|Fn+m

引理 2:Fn+m=Fn1Fm+FnFm+1

证明:

  • m=1 时,Fn+1=Fn+Fn1

  • m=2 时,Fn+1=Fn+1+Fn=2Fn+Fn1

同样的,我们只需证明 m=km=k+1 分别成立时,m=k+2 成立即可。

Fn+k+2=Fn+k+1+Fn+k=Fn1Fk+1+FnFk+2+Fn1Fk+FnFk+1=Fn1(Fk+Fk+1)+Fn(Fk+1+Fk+2)=Fn1Fk+FnFk+3

成立。

有了引理 2,那 Fn+m 就可以用 FnFm 表示出来,那既然 Fm|Fn,那一定有 Fm|Fn+m

引理 1 得证。

引理 3 相邻的斐波那契数互质

这就是那道题的性质。

我们不妨假设 gcd(Fn,Fn1)=d,(d>1)

那么由更相减损法得:

gcd(Fn,Fn1)=gcd(Fn1,FnFn1)

那么 d|gcd(FnFn1),即 d|Fn2

这样 Fn1Fn2 都有大于 1 的公约数 d 了,我们取 n=3,额,好像不成立。

得证。


那么,如何证明我们最大的命题呢?

gcd(m,n)=t,m>n,m=nq+r,(0r<n)

gcd(Fn,Fm)=gcd(Fn,Fnq+r)=gcd(Fn,Fnq1Fr+FnqFr+1)=gcd(Fn,Fnq1Fr),(因为 Fn|Fnq)=gcd(Fn,Fr),(gcd(Fnq,Fnq1)=1,Fn|Fnq)

又因为

gcd(n,m)=gcd(m%n,n)=gcd(r,n)=t,t|r,t|n

那么

Ft|Fr,Ft|Fn

由引理 1 的逆定理得到:

gcd(n,r)=tgcd(Fn,Fr)=Ft

gcd(Fn,Fm)=gcd(Fm,Fr)=Ft=Fgcd(n,m)

即证。

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