斐波那契数列的GCD性质
众所周知，斐波那契数列是一个有很多特殊有趣性质的数列，那么我们今天就来证明其中之一：
\[\gcd{(F_n,F_m)}=F_{\gcd (n,m)}
\]
首先，使用一些引理：
引理 1：如果 \(m|n\)，那么 \(F_m |F_n\)
证明：
这里 \(m|n\)，那我们不妨设 \(n=km,(k\ge 1)\)
- \(k=1\) 时，显然成立。
那么只需要证明 \(k=a\) 和 \(k=a+1\) 时同样成立即可。
既然已知 \(F_m|F_n\)，那么只要证 \(F_m|F_{n+m}\)。
引理 2：\(F_{n+m}=F_{n-1}F_m+F_nF_{m+1}\)
证明：
-
\(m=1\) 时，\(F_{n+1}=F_n+F_{n-1}\)
-
\(m=2\) 时，\(F_{n+1}=F_{n+1}+F_n=2F_n+F_{n-1}\)
同样的，我们只需证明 \(m=k\) 和 \(m=k+1\) 分别成立时，\(m=k+2\) 成立即可。
\[\begin{aligned}
F_{n+k+2}&=F_{n+k+1}+F_{n+k} \\
&=F_{n-1}F_{k+1}+F_nF_{k+2}+F_{n-1}F_k+F_nF_{k+1} \\
&=F_{n-1}(F_k+F_{k+1})+F_n(F_{k+1}+F_{k+2}) \\
&=F_{n-1}F_k+F_nF_{k+3}
\end{aligned}
\]
成立。
有了引理 2，那 \(F_{n+m}\) 就可以用 \(F_n\) 和 \(F_m\) 表示出来，那既然 \(F_m|F_n\)，那一定有 \(F_{m}|F_{n+m}\)。
引理 1 得证。
引理 3 相邻的斐波那契数互质
这就是那道题的性质。
我们不妨假设 \(\gcd (F_n,F_{n-1})=d,(d>1)\)
那么由更相减损法得：
\[\gcd(F_n,F_{n-1})=\gcd(F_{n-1},F_n-F_{n-1})
\]
那么 \(d|\gcd(F_n-F_{n-1})\)，即 \(d|F_{n-2}\)
这样 \(F_{n-1}\) 和 \(F_{n-2}\) 都有大于 \(1\) 的公约数 \(d\) 了，我们取 \(n=3\)，额，好像不成立。
得证。
那么，如何证明我们最大的命题呢？
设 \(\gcd(m,n)=t,m>n,m=nq+r,(0\le r<n)\)
\[\begin{aligned}
\gcd(F_n,F_m)&=\gcd(F_n,F_{nq+r}) \\
&=\gcd(F_n,F_{nq-1}F_r+F_{nq}F_{r+1}) \\
&=\gcd(F_n,F_{nq-1}F_r),(\text{因为 }F_n|F_{nq}) \\
&=\gcd(F_n,F_r),(\gcd(F_{nq},F_{nq-1})=1,F_n|F_{nq})
\end{aligned}
\]
又因为
\[\gcd(n,m)=\gcd(m\%n,n)=\gcd(r,n)=t,t|r,t|n
\]
那么
\[F_t|F_r,F_t|F_n
\]
由引理 1 的逆定理得到：
\[\begin{aligned}
\gcd(n,r)&=t \\
\gcd(F_n,F_r)&=F_t \\
\end{aligned}
\]
即
\[\gcd(F_n,F_m)=\gcd(F_m,F_r)=F_t=F_{\gcd(n,m)}
\]
即证。
