众所周知,斐波那契数列是一个有很多特殊有趣性质的数列,那么我们今天就来证明其中之一:
gcd(Fn,Fm)=Fgcd(n,m)
首先,使用一些引理:
引理 1:如果 m|n,那么 Fm|Fn
证明:
这里 m|n,那我们不妨设 n=km,(k≥1)
那么只需要证明 k=a 和 k=a+1 时同样成立即可。
既然已知 Fm|Fn,那么只要证 Fm|Fn+m。
引理 2:Fn+m=Fn−1Fm+FnFm+1
证明:
同样的,我们只需证明 m=k 和 m=k+1 分别成立时,m=k+2 成立即可。
Fn+k+2=Fn+k+1+Fn+k=Fn−1Fk+1+FnFk+2+Fn−1Fk+FnFk+1=Fn−1(Fk+Fk+1)+Fn(Fk+1+Fk+2)=Fn−1Fk+FnFk+3
成立。
有了引理 2,那 Fn+m 就可以用 Fn 和 Fm 表示出来,那既然 Fm|Fn,那一定有 Fm|Fn+m。
引理 1 得证。
引理 3 相邻的斐波那契数互质
这就是那道题的性质。
我们不妨假设 gcd(Fn,Fn−1)=d,(d>1)
那么由更相减损法得:
gcd(Fn,Fn−1)=gcd(Fn−1,Fn−Fn−1)
那么 d|gcd(Fn−Fn−1),即 d|Fn−2
这样 Fn−1 和 Fn−2 都有大于 1 的公约数 d 了,我们取 n=3,额,好像不成立。
得证。
那么,如何证明我们最大的命题呢?
设 gcd(m,n)=t,m>n,m=nq+r,(0≤r<n)
gcd(Fn,Fm)=gcd(Fn,Fnq+r)=gcd(Fn,Fnq−1Fr+FnqFr+1)=gcd(Fn,Fnq−1Fr),(因为 Fn|Fnq)=gcd(Fn,Fr),(gcd(Fnq,Fnq−1)=1,Fn|Fnq)
又因为
gcd(n,m)=gcd(m%n,n)=gcd(r,n)=t,t|r,t|n
那么
Ft|Fr,Ft|Fn
由引理 1 的逆定理得到:
gcd(n,r)=tgcd(Fn,Fr)=Ft
即
gcd(Fn,Fm)=gcd(Fm,Fr)=Ft=Fgcd(n,m)
即证。
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