有限微积分

差分

我们知道无限微积分,就是基于由

Df(x)=limh0f(x+h)f(x)h

所定义的微分算子 D 的性质。

那么类似地,有限微积分则是基于由

Δf(x)=(x+1)f(x)

所定义的差分算子 Δ 的性质。

Δf(x) 是一个新的函数,它描述了 f(x) 的差。

这个函数的性质很有意思。比如,abΔf(x)=f(b)f(a)

翻译成 OI 的语言就是:差分数组的前缀和就是原数组。

那么,差分的性质还有哪些?

  • 加法律:Δ(u+v)=Δu+Δv

  • 减法律:Δ(uv)=ΔuΔv

  • 数乘律:CΔu=Δ(Cu)

  • 乘法率:Δ(uv)=uΔv+EvΔu

其中,E 被称作位移算子。若设 u=f(x),那么 Eu=f(x+1)

定和式

为了解决数列求和问题,我们定义定和式:

abf(x)δx=k=ab1f(k)=f(a)+f(a+1)+f(a+2)+...+f(b1)

它是差分的逆运算,根据上面所述,我们有:

abΔf(x)δx=Δf(a)+Δf(a+1)+...+Δf(b1)=f(a+1)f(a)+f(a+2)f(a+1)+...+f(b)f(b1)=f(b)f(a)

使用上面的定义,我们可以得出定和式的以下性质:

  • abf(x)δx+bcf(x)δx=acf(x)δx

  • abf(x)δx±abg(x)δx=ab(f(x)+g(x))δx

  • abCf(x)δx=Cabf(x)δx

那么,我们可以利用这个工具,实现数列的 O(n) 求和向 O(1) 求和的进步。

例如:求等比数列的和 k=0n1ak(a1)

首先考虑指数函数的差分:

Δ(ax)=ax+1ax=(a1)axax+1axa1=axax=Δ(axa1)

因此

k=0n1ak=0naxδx=0nΔ(axa1)δx=ana1a0a1=an1a1

下降幂

引出下降幂的概念,也是为了对应在无限微积分中普通幂的性质。

我们根据差分定义有:

Δ(xn)=(x+1)nxn=k=0n1(nk)xk

但是在无限微积分中,我们熟知:(xn)=nxn1

我们这里给出下降幂的定义:

xn_=n!(xn)=x!(xn)!=k=0n1(xk)

那么在有限微积分中,有类似优雅的结论:

Δ(xn_)=(x+1)n_xn_=k=0n1(xk+1)k=0n1(xk)=k=1n2(xk)k=0n1(xk)=(x+1x+n1)k=0n2(xk)=nxn1_

太完美了!

或者,可以通过组合数来同样地推出这个结论:

Δ(xn_)=(x+1)n_xn_=(x+1)!(x+1n)!x!(xn)!=(x+1)!(x+1n)!x!(x+1n)(x+1n)!=(x+1)!x!(x+1n)(x+1n)!=x!(x+1x1+n)(x+1n)!=nx!(x+1n)!=nxn1_

那么,进一步地

Δ(xn_)=nxn1_Δ(xn+1_)=(n+1)xn_(x+1)n+1_xn+1_=(n+1)xn_(x+1)n+1_xn+1_n+1=xn_Δ(xn+1_n+1)=xn_

那么仿照等比数列的式子,我们再来几个例子:

  1. 求解等差数列 k=1nk

k=1nk=1n+1x1_δx=12(n+1)2_1212_=n(n+1)2

  1. 求解 k=1n1k(k+1)

k=1n1k(k+1)=k=0n1k2_=0nx2_δx=n1_01_1=11n+1

  1. 求证上指标求和公式 k=0n(km)=(n+1m+1)

k=0n(km)=k=0nkm_m!=1m!=0n+1xm_δx=(n+1)m+1_0m+1_m!(m+1)=(n+1)m+1_(m+1)!=(n+1m+1)

  1. 求解 k=1nk2

k=1nk2=k=0nk2=0n+1(x2_+x)δx=13(n+1)3_+12(n+1)2_=(n+1)n(13(n1)+12)=(n+1)n(2n+1)6

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