差分
我们知道无限微积分,就是基于由
Df(x)=limh→0f(x+h)−f(x)h
所定义的微分算子 D 的性质。
那么类似地,有限微积分则是基于由
Δf(x)=(x+1)−f(x)
所定义的差分算子 Δ 的性质。
Δf(x) 是一个新的函数,它描述了 f(x) 的差。
这个函数的性质很有意思。比如,b∑aΔf(x)=f(b)−f(a)
翻译成 OI 的语言就是:差分数组的前缀和就是原数组。
那么,差分的性质还有哪些?
-
加法律:Δ(u+v)=Δu+Δv。
-
减法律:Δ(u−v)=Δu−Δv
-
数乘律:CΔu=Δ(Cu)
-
乘法率:Δ(uv)=uΔv+EvΔu
其中,E 被称作位移算子。若设 u=f(x),那么 Eu=f(x+1)。
定和式
为了解决数列求和问题,我们定义定和式:
∑baf(x)δx=b−1∑k=af(k)=f(a)+f(a+1)+f(a+2)+...+f(b−1)
它是差分的逆运算,根据上面所述,我们有:
∑baΔf(x)δx=Δf(a)+Δf(a+1)+...+Δf(b−1)=f(a+1)−f(a)+f(a+2)−f(a+1)+...+f(b)−f(b−1)=f(b)−f(a)
使用上面的定义,我们可以得出定和式的以下性质:
-
∑baf(x)δx+∑cbf(x)δx=∑caf(x)δx
-
∑baf(x)δx±∑bag(x)δx=∑ba(f(x)+g(x))δx
-
∑baCf(x)δx=C∑baf(x)δx
那么,我们可以利用这个工具,实现数列的 O(n) 求和向 O(1) 求和的进步。
例如:求等比数列的和 n−1∑k=0ak(a≠1)
首先考虑指数函数的差分:
Δ(ax)=ax+1−ax=(a−1)axax+1−axa−1=axax=Δ(axa−1)
因此
n−1∑k=0ak=∑n0axδx=n∑0Δ(axa−1)δx=ana−1−a0a−1=an−1a−1
下降幂
引出下降幂的概念,也是为了对应在无限微积分中普通幂的性质。
我们根据差分定义有:
Δ(xn)=(x+1)n−xn=n−1∑k=0(nk)xk
但是在无限微积分中,我们熟知:(xn)′=nxn−1
我们这里给出下降幂的定义:
xn––=n!(xn)=x!(x−n)!=n−1∏k=0(x−k)
那么在有限微积分中,有类似优雅的结论:
Δ(xn––)=(x+1)n––−xn––=n−1∏k=0(x−k+1)−n−1∏k=0(x−k)=n−2∏k=−1(x−k)−n−1∏k=0(x−k)=(x+1−x+n−1)n−2∏k=0(x−k)=nxn−1–––––
太完美了!
或者,可以通过组合数来同样地推出这个结论:
Δ(xn––)=(x+1)n––−xn––=(x+1)!(x+1−n)!−x!(x−n)!=(x+1)!(x+1−n)!−x!(x+1−n)(x+1−n)!=(x+1)!−x!(x+1−n)(x+1−n)!=x!(x+1−x−1+n)(x+1−n)!=nx!(x+1−n)!=nxn−1–––––
那么,进一步地
Δ(xn––)=nxn−1–––––Δ(xn+1–––––)=(n+1)xn––(x+1)n+1–––––−xn+1–––––=(n+1)xn––(x+1)n+1–––––−xn+1–––––n+1=xn––Δ(xn+1–––––n+1)=xn––
那么仿照等比数列的式子,我们再来几个例子:
- 求解等差数列 n∑k=1k
n∑k=1k=∑n+11x1–δx=12(n+1)2–−1212–=n(n+1)2
- 求解 n∑k=11k(k+1)
n∑k=11k(k+1)=n−1∑k=0k2–=∑n0x−2–––δx=n−1–––−0−1–––−1=1−1n+1
- 求证上指标求和公式 n∑k=0(km)=(n+1m+1)
n∑k=0(km)=n∑k=0km––m!=1m!=∑n+10xm––δx=(n+1)m+1––––––−0m+1––––––m!(m+1)=(n+1)m+1––––––(m+1)!=(n+1m+1)
- 求解 n∑k=1k2
n∑k=1k2=n∑k=0k2=∑n+10(x2–+x)δx=13(n+1)3–+12(n+1)2–=(n+1)n(13(n−1)+12)=(n+1)n(2n+1)6
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