/* *State: 2294 609MS 944K 4236 B C++ *题目大意： * 有k种珍珠，每种有n个，然后要求组合成长度为1~n的项链的总数。 * （项链的长度为珍珠的个数），并要求项链中至少含有k种珍珠。 *解题思路： * 复杂的组合题，至今不理解其递推式，但是知道dp的状态转移表达式为 * f[i][j] = f[i - 1][j - 1] * (k - j + 1) + f[i - 1][j] * j; * f[i][j]下标的意思是有i颗珍珠时，含有j种能组合的个数。然后有了 * 这个状态转移，可以得出结果为：f[1][k] + f[2][k] + …… + f[n][k], * 然后发现这个状态转移够囧，n<1 000 000 000,那么一般根据二维dp要 * 两维来实现，结果复杂度就变成了O(nk),超级计算机也难以接受。 * 考虑用别的方式来实现dp,猥琐地搜了解题报告后发现，原来可以用矩阵 * 加速，有一步跳跃比较高，就是一个矩阵里面把其中一维全部包括了。 * F[i] = F[i - 1] * A;其中A为转移矩阵。然后F[i]这个矩阵要设定为： * f[i-1][0] f[i-1][1] f[i-1][2] …… f[i-1][k] * 0 0 0 0 * 0 0 0 0 * ………… * 0 0 0 0 * 这个矩阵有k+1维，为什么是k+1维，自己想。 * 转移矩阵A为 * 0 k 0 0 …… 0 0 0 * 0 1 k-1 0 …… 0 0 0 * 0 0 2 0 …… 0 0 0 * …… * 0 0 0 0 …… 0 0 k * 为什么转移矩阵是如此的？把上面的F[i]跟转移矩阵相乘可发现跟状态转移 * 方程一致。 * * 有了矩阵的表达式，那么要求结果必须先求F[1] + F[2] + F[3] + …… + F[k] * 转化为F[1] + F[1]*A + F[1]*A^2 + …… + F[1]*A^(k-1).提取F[1],之后就是 * 二分求sum(A^n)了。 *题目困惑： * 题意看了好久，感觉题目表示得不好，表示一条项链必须含有k钟珍珠的时候。 * to show his wealth, every kind of pendant must be made of K pearls. * 好像是在说需要k个珍珠一样，不是应该加个 K kind of pearls么？ * 最后理清思路了，还是wa了3次，因为最后的模溢出了，还是自己走投无路给自己 * 乱出数据得出来的，这个在实在没办法的时候，不失为一种方法。 */
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1 #include <stdio.h> 2 #include <string.h> 3 #include <iostream> 4 5 #define MAX_DIMENSION 35 6 using namespace std; 7 8 typedef __int64 MATRIX_TYPE; 9 typedef __int64 MAX_INT_TYPE; 10 typedef MATRIX_TYPE Matrix[MAX_DIMENSION][MAX_DIMENSION]; 11 int ndim=MAX_DIMENSION; 12 int mod=1234567891;//mod 13 14 void m_zero(Matrix x) 15 { 16 memset(x, 0, sizeof(MATRIX_TYPE)*MAX_DIMENSION*MAX_DIMENSION); 17 } 18 19 void m_one(Matrix x) 20 { 21 int i; 22 m_zero(x); 23 for(i=0;i<ndim;++i)x[i][i]=1; 24 } 25 26 void m_copy(Matrix src,Matrix dest) 27 { 28 memcpy(dest,src, sizeof(MATRIX_TYPE)*MAX_DIMENSION*MAX_DIMENSION); 29 } 30 31 //z=x+y; 32 void m_add(Matrix x,Matrix y,Matrix z) 33 { 34 int i,j; 35 for(i=0;i<ndim;i++) 36 for(j=0;j<ndim;j++) 37 if(mod<=1)z[i][j]=x[i][j]+y[i][j]; 38 else z[i][j]=(x[i][j]+(MAX_INT_TYPE)y[i][j])%mod;//module 39 } 40 41 42 //c=a*b 43 void m_multiple(Matrix a,Matrix b,Matrix c) 44 { 45 int i,j,k; 46 MAX_INT_TYPE t; 47 48 for(i=0;i<ndim;i++) 49 for(j=0;j<ndim;j++) 50 { 51 t=0; 52 if(mod<=1) 53 for(k=0;k<ndim;k++) t+=a[i][k]*b[k][j];//module 54 else 55 for(k=0;k<ndim;k++){ 56 t+=(a[i][k]*(MAX_INT_TYPE)b[k][j])%mod; 57 t%=mod; 58 }//module 59 c[i][j]=t; 60 } 61 } 62 63 void m_pow_with_saved(Matrix x_p[],unsigned int n, Matrix y) 64 { 65 Matrix temp; 66 m_one(y); 67 for(int k=1;n;++k,n>>=1) 68 { 69 if ((n & 1) != 0) 70 { 71 m_multiple(x_p[k],y,temp); 72 m_copy(temp,y); 73 } 74 } 75 } 76 77 void m_pow_sum1(Matrix x_p[],unsigned int n, Matrix y) 78 { 79 m_zero(y); 80 if(n==0)return; 81 if(n==1) m_copy(x_p[1],y); 82 else 83 { 84 Matrix temp; 85 //calculate x^1+...+^(n/2) 86 m_pow_sum1(x_p,n>>1,temp); 87 //add to y 88 m_add(temp,y,y); 89 //calculate x^(1+n/2)+...+x^n 90 Matrix temp2; 91 m_pow_with_saved(x_p,n>>1,temp2); 92 Matrix temp3; 93 m_multiple(temp,temp2,temp3); 94 //add to y 95 m_add(temp3,y,y); 96 if(n&1) 97 { 98 //calculate x^(n-1) 99 m_multiple(temp2,temp2,temp3); 100 //calculate x^n 101 m_multiple(temp3,x_p[1],temp2); 102 //add x^n 103 m_add(temp2,y,y); 104 } 105 } 106 107 } 108 109 void m_pow_sum(Matrix x, unsigned int n, Matrix y) 110 { 111 //calculate x^1 x^2 x^4 ... x^logn 112 unsigned int i=0,logn,n2=n; 113 for(logn=0,n2=n;n2;logn++,n2 >>= 1); 114 Matrix *pow_arry=new Matrix[logn==0?2:(logn+1)]; 115 m_one(pow_arry[0]); 116 m_copy(x,pow_arry[1]); 117 for(i=1;i<logn;i++) 118 { 119 m_multiple(pow_arry[i],pow_arry[i],pow_arry[i+1]); 120 } 121 122 m_pow_sum1(pow_arry,n,y); 123 delete []pow_arry; 124 } 125 126 void view_mat(Matrix a, int n) 127 { 128 for(int i = 0; i < n; i++) 129 { 130 for(int j = 0; j < n; j++) 131 cout << a[i][j] << " "; 132 cout << endl; 133 } 134 } 135 136 int main(void) 137 { 138 #ifndef ONLINE_JUDGE 139 freopen("in.txt", "r", stdin); 140 #endif 141 142 int cas; 143 scanf("%d", &cas); 144 while(cas--) 145 { 146 int n, k; 147 scanf("%d %d", &n, &k); 148 Matrix a; 149 ndim = k + 1; 150 m_zero(a); 151 for(int i = 0; i <= k; i++) 152 { 153 if(i == 0) 154 continue; 155 a[i][i] = i; 156 a[i - 1][i] = k - i + 1; 157 } 158 Matrix asum, res, addsum, f1, ans; 159 m_one(res); 160 m_pow_sum(a, n - 1, asum); 161 m_add(res, asum, addsum); 162 m_zero(f1); 163 f1[0][1] = k; 164 m_multiple(f1, addsum, ans); 165 printf("%d\n", ((ans[0][k] % mod) + (__int64)mod) % mod); 166 } 167 return 0; 168 }
这道题目把dp的弱性跟矩阵的优美强悍地给表现出来了。
