快速幂

合集 - 数论(3)

1.浅谈筛法02-02

2.快速幂02-11

3.威尔逊定理02-11

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快速幂算法详解

快速幂算法（也称为平方求幂法）是一种用于高效计算幂运算的算法，特别适用于计算大数的幂模运算（如 ( a^b \mod p )）。它的核心思想是通过将指数 ( b ) 分解为二进制形式，利用平方和乘法逐步计算结果。

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1. 快速幂的核心思想

快速幂算法的核心是将指数 ( b ) 表示为二进制形式，例如：
[b = b_k \cdot 2^k + b_{k-1} \cdot 2^{k-1} + \cdots + b_0 \cdot 2^0]
其中 ( b_i ) 是二进制位（0 或 1）。因此：
[a^b = a^{b_k \cdot 2^k} \times a^{b_{k-1} \cdot 2^{k-1}} \times \cdots \times a^{b_0 \cdot 2^0}]
通过循环处理每一位，逐步计算幂运算。

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2. 快速幂的步骤

1. 初始化结果为 1。
2. 将底数 ( a ) 对模数 ( p ) 取模，防止 ( a ) 过大。
3. 循环处理指数 ( b ) 的每一位：
   • 如果当前最低位为 1，将 ( a ) 乘入结果。
   • 将 ( a ) 平方，准备处理下一位。
   • 将 ( b ) 右移一位，处理下一个二进制位。
4. 返回最终结果。

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3. 快速幂的代码实现

以下是 C++ 实现快速幂算法的代码：

#include <iostream>
using namespace std;

// 快速幂函数，计算 a^b mod p
long long fast_pow(long long a, long long b, long long p) {
    long long result = 1; // 初始化结果为 1
    a = a % p; // 先对 a 取模，防止 a 过大

    while (b > 0) {
        // 如果当前最低位为 1，将 a 乘入结果
        if (b & 1) {
            result = (result * a) % p;
        }
        // 将 a 平方，准备处理下一位
        a = (a * a) % p;
        // 右移一位，处理下一个二进制位
        b = b >> 1;
    }

    return result;
}

int main() {
    long long a, b, p;
    cout << "请输入 a, b, p：";
    cin >> a >> b >> p;

    long long result = fast_pow(a, b, p);
    cout << a << "^" << b << " mod " << p << " = " << result << endl;

    return 0;
}

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4. 代码说明

1. fast_pow 函数：

   • 输入：( a )（底数），( b )（指数），( p )（模数）。
   • 输出：( a^b \mod p )。
   • 核心思想：
     • 将指数 ( b ) 分解为二进制形式。
     • 通过平方和乘法逐步计算幂模运算。
     • 时间复杂度：( O(\log b) )。

2. 主函数：

   • 输入 ( a, b, p )。
   • 调用 fast_pow 函数计算结果并输出。

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5. 示例运行

输入：

请输入 a, b, p：2 10 1000

输出：

2^10 mod 1000 = 24

解释：

• ( 2^{10} = 1024 )。
• ( 1024 \mod 1000 = 24 )。

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6. 复杂度分析

1. 时间复杂度：

   • 每次循环将指数 ( b ) 右移一位，循环次数为 ( O(\log b) )。
   • 每次循环内的操作（乘法和取模）是常数时间。
   • 总体复杂度：( O(\log b) )。

2. 空间复杂度：

   • 仅使用常数空间，( O(1) )。

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7. 注意事项

1. 模数 ( p ) 的限制：

   • 如果 ( p = 1 )，结果恒为 ( 0 )。
   • 如果 ( a = 0 ) 且 ( b = 0 )，结果未定义（通常返回 ( 1 ) 或报错）。

2. 大数问题：

   • 如果 ( a ) 或 ( p ) 很大，确保使用 long long 类型以避免溢出。

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