浅谈筛法

合集 - 数论(3)

1.浅谈筛法02-02

2.快速幂02-113.威尔逊定理02-11

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假期一到，随着竞赛集训结束，也是终于放假了！但是假期只有一半，但是还有竞赛作业...其中一项便是写4篇题解，本人也借此机会温习一下旧知识（绝对不是想水题解），第一篇就分享一下筛法，欢迎交流讨论！

引入

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-例题

给定两个正整数\(n\),\(q\)然后询问\(q\)次，每次询问第\(m\)小的质数保证质数小于等于\(n\)。

-思路

用数组把质数进行存储，再输出第\(m\)个便可以了，但是我们需要考虑时间空间限制，一般题暴力也可以，但有些唐题就想要让我们用线性筛。接下来进行讲解，供各位鉴赏。

埃氏筛

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-原理

在遍历到某一个数字\(k\)时，如果\(k\)是质数，那么它的倍数（\(2*k\),\(3*k\)...\(n*k\)）必然不是质数，若\(k\)不是质数，它必定被前面的某个质数排掉。

-核心代码

vector<bool> prime(n+1,true);//用数组存下0-n，默认每个数都是质数（true）
prime[0]=prime[1]=false;//0，1不是质数（fales）
for(int i=2;i*i<=n;++i){//遍历（Q1：为什么是i*i？）
	if(prime[i]){
		for(int j=i*i;j<=n;j+=i){//对这个质数的平方后的倍数排除（Q2：为什么从i*i开始？）
			prime[j]=false;//排除
		}
	} 
}

-Tips

Q1：

合数的性质：

如果 n 是合数，那么它至少有一个质因数 p 满足 p ≤ √n。

例如，n = 100，√100 = 10。如果 n 是合数，它至少有一个质因数 p ≤ 10。

Q2：

筛法的起始点：

对于质数 i，i 的倍数 \(i*2\), \(i*3\), ...,$ i*(i-1) $已经被更小的质数筛除了。

因此，直接从 j = i * i 开始筛除。

上代码

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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main() {
	int n,q,m;
	cin>>n>>q;
	vector<bool> prime(n+1,true);
	prime[0]=prime[1]=false;
	for(int i=2;i*i<=n;++i){
		if(prime[i]){
			for(int j=i*i;j<=n;j+=i){
				prime[j]=false;
			}
		} 
	}
	
	vector<int> primes;//存入质数
    for(int i=2;i<=n;++i){
        if(prime[i]) primes.push_back(i);
    }
	
	while(q--){//多次询问
		cin>>m;
		if(m>=1&&m<=primes.size()){
			cout<<primes[m-1]<<endl;
		}else{
			cout<<-1<<endl;
		}
	}
	
	
    return 0;
} 

题解++，任务--！

感谢观看！