【学习笔记】卡特兰数

卡特兰数

定义：

卡特兰数的计算公式涉及组合计数，它是很多组合问题的数学模型，是一个很常见的数列。

$\bf{\underline{卡特兰数(Catalan)}}$ 是一个数列，它的一种定义是：

$$C_n=\frac{1}{n+1}\binom{2n}{n}，n=0,1,2,...$$

卡特兰数有三个计算公式：

公式1：

$$C_n=\frac{1}{n+1}\binom{2n}{n}=\binom{2n}{n}-\binom{2n}{n-1}=\binom{2n}{n}-\binom{2n}{n+1}$$

适用于 $n$ 较大的情况。

公式2：

$$C_n=\sum C_kC_{n-1-k}，C_0=1$$

适用于 $n$ 较小的卡特兰数，不需要求逆元，复杂度 $n^2$。

公式3：

$$C_n=\frac{4n-2}{n+1}C_{n-1}，C_0=1$$

接下来我们通过棋盘问题来推导公式1，通过二叉树问题来推导公式2。

应用

• $\bf{\underline{棋盘问题（公式1）}}$

问题描述：现有一个 $n\times n$ 的棋盘，从左下角走到右上角，且一直在主对角线下面走，不能穿过主对角线，求路径的方案数。

这个限制等价于走到任意一步 $k$ 都需要满足向右走的次数大于等于向上走的次数。

首先不考虑主对角线的限制，那么从 $(0,0)$ 走到 $(n,n)$ 的方案数为 $\binom{2n}{n}$，组合意义为：

每一步我可以选择向上走（记为 $1$）和向右走（记为 $2$），一共走 $2n$ 步，相当于一个长度为 $2n$ 的全部为 $0$ 的序列，我们需要选择其中的 $n$ 个位置将其填为 $1$，即 $2n$ 选 $n$，为 $\binom{2n}{n}$。

那么我们考虑加上这个限制，需要从总方案数上减去不合法方案数，我们看一种不合法情况：

如图，我们在对角线上面一格再画一个与其平行的对角线，可以发现只有所有穿过红线的路径（即不合法路径）才和蓝线有交，我们就是要统计这样的路径。
然后我们将这些路径在跨过红线后的部分关于蓝线对称：

可以发现这些线的终点都是 $(n-1,n+1)$，也就是 $(n,n)$ 关于蓝线对称后的点，这些路径与原跨过红线的路径都是一一对应的，这部分的方案数同理是 $\binom{2n}{n-1}$，即不合法的路径数量，所以合法的路径的数量的即为两者相减：

$$\binom{2n}{n}-\binom{2n}{n-1}=\binom{2n}{n}-\binom{2n}{n+1}=\frac{1}{n+1}\binom{2n}{n}$$

这正好就是卡特兰数的公式1。

• $\bf{\underline{括号问题（公式1）}}$

问题描述：用 $n$ 个左括号和 $n$ 个右括号，求能组合出多少种合法的括号序列。

发现问题就是对于该字符串的任意长度前缀，都要满足左括号的数量大于等于右括号的数量，和上面的棋盘问题实际上是一样的，方案数为 $C_n$。

• $\bf{\underline{出栈序列问题（公式1）}}$

问题描述：给定一个入栈序列，求有多少种不同的出栈序列？

对于每个数，都是入栈一次，出栈一次，对于每个时刻，只有栈的大小大于等于 $1$ 才可以出栈，即每时每刻需要满足入栈次数大于等于出栈次数，还是卡特兰数、

• $\bf{\underline{二叉树问题（公式2）}}$

问题描述：$n$ 个节点构成的二叉树，求有多少种不同的形态？

这个问题其实就是公式2的模型，设 $f_{x,i}$ 为 $x$ 子树分配 $i$ 个点的答案，考虑从叶子节点往上递归。

对于叶子节点，$f_{x,0}=1$

对于一个非叶子节点 $x$，设其左子树节点数量+右子树节点数量 $=k$，则

$$\begin{aligned} f_{x,k+1} & = f_{ls,k}\times f_{rs,0}+f_{ls,k-1}\times f_{rs,1}+...+f_{ls,1}\times_{rs,k-1}+f_{ls,0}+f_{rs,k}\\ & = \sum f_{ls,i}\times f_{rs,k-i} \end{aligned}$$

为卡特兰数递推式。

$$C_n=\sum C_i\times C_{n-1-i}，C_0=1$$

没了。