【学习笔记】Slope Trick

Slope Trick

CF上讲解Slope Trick的博客

Slope Trick 是一种优化 DP 的方法，核心思想是通过存储DP转移的一些关键信息（如分段函数的分段点和最左/右边的一段函数）从而利用数据结构高效维护转移。（不是斜率优化DP）

接下来都以凸函数，维护最左边的函数为例

注：图中所画斜率有小于 $1$ 的只是为了好看，实际题目的斜率一定为整数

一般可以使用 Slope Trick 优化的DP方程有以下要求：

• 是连续的
• 是分段一次函数
• 是凸函数（斜率单调不升，图像上凸）或凹函数

分段一次凸函数具有非常优秀的性质：

• 两个凸函数相加还是凸函数
  设凸函数 $F(i)$ 和 $G(i)$，其分段点集合分别为 $L_F$ 和 $L_G$，其最右端的函数分别为 $R_F(i)$ 和 $R_G(i)$，则 $H(i)=F(i)+G(i)$ 也是凸函数，分段点集合满足 $L_H=L_F \cup L_G$，$R_H(i)=R_F(i)+R_G(i)$。

• 凸函数加一次函数还是凸函数

这样我们将所有斜率减少（增加）$1$ 的位置放到数据结构里面维护，也就是说如果一个地方的斜率变化大于 $1$ 就加多次。

如函数

$$\begin{cases} x+2 & x< -1\\ 1 &-1\le x <1\ \\ -2x+3 & x \ge 1 \end{cases}$$

图像为

我们维护最左边的图像信息 $k=1,b=2$ 和分段点集合 $\{-1,1,1\}$，其中 $x=1$ 这个位置加了两次

再如绝对值函数（凹函数） $|x-w|$，维护 $k=-1,b=w$ 和分段点集合 $\{w,w\}$。

事实上每一个分段一次凸函数都可以这样表示，我们就可以快速维护许多函数操作。

几种常见的函数操作：

• 相加：
  直接最左边图像 $k,b$ 相加，分段点集合合并。

• 找最大/小值：
  就是斜率为零的那一段，用大根堆 $L$ 维护其左边的所有分段点，$R$ 维护右边的，始终保证 $k=L.size()$，其余点扔进 $L$。
  堆顶即为最大值的左端点和右端点。

• 加一次函数
  例如加上一个 $y=x$，就只用把 $R$ 堆顶的第一个元素扔到 $L$ 里面
  如果加的一次函数斜率较大，为了保证复杂度，修改集合的定义为每个位置的斜率变化量即前/后缀差分，修改 $k,b$ 即可。

• 前后缀max：
  前缀 $\max$ 就是直接扔掉 $R$ 里的所有点，后缀就是扔掉 $L$ 里的所有点。

• 平移：
  只用维护 $k,b$ 的变化，分段点打平移标记。

• 翻转：
  只用维护 $k,b$ 的变化，分段点打翻转标记。

答案统计的时候有两种方法，一种是还原图像，另一种是记录决策点（一般是斜率为零的线段端点）

例题：CF713C

给定一个有 $n$ 个正整数的数组，一次操作中，可以把任意一个元素加一或减一。（元素可被减至负数或 $0$），求使得原序列严格递增的求最小操作次数。

首先把严格递增转化为单调不降，只需令 $a_i-=i$，然后就是线性 DP

$$f_{i,j}=\min_{k=1}^jf(i-1,k)+|a_i-j|$$

令 $F_i(x)=f_{i,x}$，$G_i(x)=\min\limits_{k=1}^xF_i(x)$，改写成函数的形式，则转移方程就是

$$F_i(x)=G_{i-1}(x)+|a_i-x|$$

发现这是个斜率单调不降的凹函数：

首先 $F_1(x)=|a_i-x|$ 这是个凹函数，然后 $G_i(x)$ 是个前缀 $min$

凹函数加凹函数，所以 $F_i(x)$ 也是凹函数。

所以状态转移其实就是维护凹函数相加和取前缀 $\min$ 两个操作，这很 Slope Trick，发现 $G_i(x)$ 的图像最后一段一定是平的，所以我们只需要维护斜率小于零的大根堆 $L$。

加入绝对值函数 $|a_i-x|$，相当于在集合中加入元素 $\{a_i,a_i\}$，分类讨论 $a_i$ 的位置：

• 当 $a_i \ge L.top()$ 时，加的第二个 $a_i$ 实际斜率是 $1$，取前缀 $\min$ 时又删除了，所以此时只用加一个 $\{a_i\}$。

• 当 $a_i < L.top()$ 时，先加入 $\{a_i,a_i\}$，$L.top()$ 的斜率从 $0$ 变成 $1$，取前缀 $\min$ 时需要删除，所以 $pop$ 出去。

这样我们同时完成了凹函数相加和取前缀 $\min$ 操作。

这道题有个很好的性质就是你每次决策点就是堆顶，所以直接累加答案，这道题就做完了。

四倍经验：CF713C，CF13C，P2893，P4597，注意是严格非降还是严格上升
Code:

priority_queue<int> q;
main(){
    int ans=0;
    int n;cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int x;
        cin>>x;
        x=x-i;
        q.push(x);
        if(x<q.top()){
            q.push(x);
            ans+=q.top()-x;
            q.pop();
        }
    }
    cout<<ans<<endl;
}