【学习笔记】拉格朗日插值

拉格朗日插值

类似三个点可以确定二次函数解析式，$n+1$ 个点可以确定一个 $n$ 项式

问题：给定 $k$ , $n+1$ 个数和每个数对应的函数值 $y_i$，如何求 $f_k$ （P4181）

高斯消元的复杂度 $n^3$，拉格朗日插值可以 $n^2$ 解决这个问题

表达式:

$$f(x)=\sum\limits_{i=1}^{n}y_i \prod\limits_{j\ne i} \frac{x-x_j}{x_i-x_j}$$

推导：

我们考虑构造一个函数 $L_i(x)$ , 使得 $L_i(x_i)=1$，对于任意 $1 \leq j \leq n$ 且 $j \neq i$，$L_i(x_j)=0$，

这样使 $f(x)=\sum\limits_{i=1}^n y_i L_i(x)$ 对于任意 $1\leq i\leq n$ 都成立

则：$L_i(x)=\prod\limits_{j \neq i} \frac{x-x_j}{x_i-x_j}$，当 $x=x_i$ 时函数值为 $1$，其余为 $0$

故表达式为 $f(x)=\sum\limits_{i=1}^n y_i L_i(x)=\sum\limits_{i=1}^{n}y_i \prod\limits_{j\ne i} \frac{x-x_j}{x_i-x_j}$，复杂度 $O(n^2)$

oiwiki上还有一种类似中国剩余定理的推导，用到了多项式在模意义下的逆元

横坐标是连续整数的拉格朗日插值

$$f(x)=\sum\limits_{i=1}^{n}y_i \frac{ \prod\limits_{j=1}^{n}(x-j)}{(x-i)(-1)^{n-i}(i-1)!(n-i)!}$$

这个柿子预处理完是 $O(n)$ 的

推导：

$$\begin{aligned} f(x) & =\sum\limits_{i=1}^{n}y_i \prod\limits_{j\ne i} \frac{x-x_j}{x_i-x_j} \\ & =\sum\limits_{i=1}^{n}y_i \prod\limits_{j\ne i} \frac{x-j}{i-j} \end{aligned}$$

分别处理分子和分母，则分子可以改写成 $\frac{ \prod\limits_{j=1}^n (x-j)}{x-i}$

分母分为 $j<i$ 和 $j>i$ 考虑，对于小于那部分数轴上 $j$ 到 $i$ 的距离从 $1$ 累乘到 $i-1$，即 $(i-1)!$，大于那部分同理，为 $(n-i)!$，需要注意因为 $j>i$，当 $n-i$ 为奇数时贡献为负，所以再乘上 $(-1)^{n-i}$

故表达式为 $f(x)=\sum\limits_{i=1}^{n}y_i \frac{ \prod\limits_{j=1}^{n}(x-j)}{(x-i)(-1)^{n-i}(i-1)!(n-i)!}$，复杂度为 $O(n)$。