佳佳的 Fibonacci 题解

佳佳的 Fibonacci 题解

题目:

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题解:

数据范围很大,暴力超时,考虑的是矩阵优化递推,关键是求出递推矩阵,然后结合矩阵快速幂求解
如何求解递推矩阵?
我们首先知道斐波那契的递推式:

fi=fi1+fi2 ——>①

然后题目中给我们了T(n)的递推式:

T(n)=F1+2F2+3F3+...+nFn——>②

我们考虑从T(n-1)推得T(n)

T(n)=T(n1)+nFn

由①的:

T(n)=T(n1)+n(Fn1+Fn2)=T(n1)+nFn1+nFn2

我选择T[n-1],nF[n-1],nF[n-2],F[n-1],F[n-2]作为行向量
从而推出T[n],(n+1)F[n],(n+1)F[n-1],F[n],F[n-1];
我们现在需要找出底数矩阵A,它的规模应该是5*5的(显然

下面请填表:

T(n1) nFn1 nFn2 Fn1 Fn2
T(n)
(n+1)Fn
(n+1)Fn1
Fn
Fn1

填完应该长这样:

T(n1) nFn1 nFn2 Fn1 Fn2
T(n) 1 1 1 0 0
(n+1)Fn 0 1 1 1 1
(n+1)Fn1 0 1 0 1 0
Fn 0 0 0 1 1
Fn1 0 0 0 1 0

转置一下,就得到了矩阵A:

1 0 0 0 0
1 1 1 0 0
1 1 0 0 0
0 1 1 1 1
0 1 0 1 0

代码实现也很容易,注意A要转置(矩阵乘行向量)了解更多
给出代码:

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define il inline
int n,mod;
il int read(){
int x=0,f=1;char ch=getchar();
while(ch>'9'||ch<'0'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
return x*f;
}
il void write(int x){
if(x<0)putchar('-'),x=-x;
if(x>9) write(x/10);
putchar(x%10+'0');
return;
}
struct mat{
int m[10][10];
mat(){
memset(m,0,sizeof(m));
}
};
mat operator*(const mat& a,const mat& b){
mat c;
for(int i=1;i<=5;i++)
for(int j=1;j<=5;j++)
for(int k=1;k<=5;k++)
c.m[i][j]=(c.m[i][j]+a.m[i][k]*b.m[k][j])%mod;
return c;
}
il mat fast_pow(int b){
mat a,zero;
a.m[1][1]=1;
a.m[2][1]=1;
a.m[2][2]=1;
a.m[2][3]=1;
a.m[3][1]=1;
a.m[3][2]=1;
a.m[4][2]=1;
a.m[4][3]=1;
a.m[4][4]=1;
a.m[4][5]=1;
a.m[5][2]=1;
a.m[5][4]=1;
zero.m[1][1]=3;
zero.m[1][2]=3;
zero.m[1][3]=3;
zero.m[1][4]=1;
zero.m[1][5]=1;
while(b){
if(b&1) zero=zero*a;
b>>=1;
a=a*a;
// for(int i=1;i<=5;i++){
// for(int j=1;j<=5;j++){
// cerr<<zero.m[i][j]<<" ";
// }
// cerr<<endl;
// }
}
return zero;
}
main(void){
n=read(),mod=read();
if(n==1){
cout<<1<<endl;
return 0;
}
mat ans=fast_pow(n-2);
write(ans.m[1][1]%mod);
}
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