约瑟夫环经典问题,题意不解释

用循环链表过于费时,以下为代码:

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>

typedef struct node
{
	int data;
	struct node *next;
}LinkList;

int main()
{
	int i,j,k,t,m,n;
	while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF&&n||m)
	{
		LinkList *head,*back,*front,*temp;
		head=back=front=NULL;
		for(i=1;i<n+1;i++)
		{
			temp=(LinkList *)malloc(sizeof(LinkList));
			temp->data=i;
			if(i==1)
			{
				head=temp;
				temp->next=head;
				back=temp;
			}
			else
			{
				back->next=temp;
				temp->next=head;
				back=temp;
			}
		}
		temp=head;
		int  total=n;
		front=head;
		while(total!=1)
		{
			for(i=1;i<m;i++)
			{
				temp=temp->next;
			}
			while(front->next!=temp)
			{
				front=front->next;
			}
			front->next=temp->next;
			free(temp);
			total--;
			temp=front->next;
		}
		printf("%d %d %d\n",n,m,front->data);
	}
}

  这就要求找简便算法,他们都说是这样的:

无论是用链表实现还是用数组实现都有一个共同点:要模拟整个游戏过程,不仅程序写起来比较烦,而且时间复杂度高达O(nm),当n,m非常大(例如上百万,上千万)的时候,几乎是没有办法在短时间内出结果的。我们注意到原问题仅仅是要求出最后的胜利者的序号,而不是要读者模拟整个过程。因此如果要追求效率,就要打破常规,实施一点数学策略。

为了讨论方便,先把问题稍微改变一下,并不影响原意:
问题描述:n个人(编号0~(n-1)),从0开始报数,报到(m-1)的退出,剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。

我们知道第一个人(编号一定是m%n-1) 出列之后,剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环(以编号为k=m%n的人开始):
  k  k+1  k+2  ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2并且从k开始报0。
现在我们把他们的编号做一下转换:

k     --> 0
k+1   --> 1
k+2   --> 2
...
...
k-2   --> n-2
k-1   --> n-1
变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题,假如我们知道这个子问题的解:例如x是最终的胜利者,那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗?!!变回去的公式很简单,相信大家都可以推出来:x'=(x+k)%n

如何知道(n-1)个人报数的问题的解?对,只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢?当然是先求(n-3)的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题!好了,思路出来了,下面写递推公式:

令f[i]表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号,最后的结果自然是f[n]

递推公式
f[1]=0;
f[i]=(f[i-1]+m)%i;  (i>1)

有了这个公式,我们要做的就是从1-n顺序算出f[i]的数值,最后结果是f[n]。因为实际生活中编号总是从1开始,我们输出f[n]+1
由于是逐级递推,不需要保存每个f[i],程序也是异常简单:

 

 

 

然后代码就是这样的:

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
int main()
{
	int i,j,k,t,n,m,s;
	while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF&&n||m)
	{
		s=0;
		for(i=2;i<=n;i++)
		{
			s=(s+m)%i;
		}
		printf("%d %d %d\n",n,m,s+1);
	}
}

  其实自己并不太懂!