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多项式笔记

多项式，清空，封装，边界，是讨厌的。

预知识

~~背下来~~

泰勒展开

$\displaystyle f(x)=\sum_{i=0}^{\infty} \frac{f^{(i)}(0)}{i!}x^i$

$\displaystyle f(x)=\sum_{i=0}^{\infty} \frac{f^{(i)}(a)}{i!}(x-a)^i$

我不会不敢乱讲

大概的意思是用多项式来拟合一些不好求的函数。应用就是下面的牛顿迭代。

牛顿迭代

已知 $g(f_0(x))\equiv 0 \;(\!\mod x^{\frac n 2})$

求解 $g(f(x))\equiv 0 \; \pmod {x^n}$

结论： $f(x)=f_0(x)-\frac {g(f_0(x))}{g'(f_0(x))}$

证明：

首先使用泰勒展开，将 $g(f(x))$ 在 $f_0(x)$ 处展开

得到 $\displaystyle g(f(x))= \sum _{i\geq0} \frac {g^{(i)}(f_0(i))}{i!}(f(x)-f_0(x)) ^i$

由于 $f(x)-f_0(x)\equiv 0 \pmod x^{\frac n 2}$

所以在 $i\geq 2$ 的情况下， $(f(x)-f_i(x))^i\equiv 0 \pmod {x^n}$

所以原式展开： $g(f(x))=g(f_0(x))+ g'(f_0(x))(f(x)-f_0(x))$

化简一下即可得到 $f(x)=f_0(x)-\frac {g(f_0(x))}{g'(f_0(x))}$

导数相关小知识

$(F(x)+G(x))'=F'(x)+G'(x)$

$(cF(x))'=cF'(x)$ ( $c$ 为常数)

$(x^k)'=kx^{k-1}$

$(\ln x)'=\frac 1 x$

$(e^{x})'=e^x$

$(a^x)'=a^x\ln a$

$(F(x)G(x))'=F'(x)G(x)+G'(x)F(x)$

$({\frac {F(x)}{G(x)}})'=\frac {F'(x)G(x)+F(x)G'(x)}{G^2(x)}$

$(F(G(x)))'=F'(x)G'(F(x))$

NTT

懒得讲原理，喵。

	ll A[maxn],B[maxn],pos[maxn],S[maxn];
	const int mod=998244353,g=3,ginv=332748118;
	ll ksm(ll x,int y)
	{
		ll ret=1;
		while(y)
		{
			if(y&1) ret=ret*x%mod; 
			x=x*x%mod; y>>=1;
		}
		return ret;
	}
	int pre(int n,int m)
	{
		int lim=0;
		while((1<<lim)<=n+m) lim++;
		for(int i=0;i<=(1<<lim);i++)
				pos[i]=(pos[i>>1]>>1)|((i&1)<<(lim-1));
		return lim;
	}
	void NTT(ll *f,ll n,int opt)
	{
		for(int i=0;i<n;i++) if(i<pos[i]) swap(f[i],f[pos[i]]);
		for(int i=1;i<n;i<<=1)
		{
			ll step=ksm((opt>0?g:ginv),(mod-1)/(2*i));
			for(int j=0;j<n;j+=i+i)
			{
				ll cur=1;
				for(int k=j;k<j+i;k++)
				{
					int gx=f[k],hx=1ll*cur*f[k+i]%mod;
					f[k]=(gx+hx)%mod;f[k+i]=(gx-hx+mod)%mod;
					cur=cur*step%mod;
				}
			}
		}
		if(opt==-1)
		{
			int ninv=ksm(n,mod-2);
			for(int i=0;i<n;i++) f[i]=f[i]*ninv%mod;
		}
	}
	void MUL(ll *s,ll *f,ll *h,int n,int m)
	{
		int lim=pre(n,m);
		for(int i=0;i<=n;i++) A[i]=f[i];
		for(int i=0;i<=m;i++) B[i]=h[i];
		for(int i=n+1;i<=(1<<lim);i++) A[i]=0;
		for(int i=m+1;i<=(1<<lim);i++) B[i]=0;
		NTT(A,(1<<lim),1);NTT(B,(1<<lim),1);
		for(int i=0;i<=(1<<lim)-1;i++) s[i]=A[i]*B[i]%mod;
		NTT(s,(1<<lim),-1);
	}

多项式求逆

给出 $F(x)$ ,求出 $G(x)$ 使得 $G(x) F(x)\equiv 1 (\mod x^n)$

令 $F(x)H(x)\equiv 1(\mod x^{\frac n 2})$

$F(x)(G(X)-H(x))\equiv 0(\mod x^{\frac n 2})$

$G(x)-H(x)\equiv 0(\mod x^{\frac n 2})$

$(G(x)-H(x))^2\equiv 0(\mod x^{n})$

$G^2(x)-2G(x)H(x)+H^2(x)\equiv 0(\mod x^n)$

两边同时乘个 $F(x)$

$G(x)-2H(x)+F(x)H^2(x)\equiv 0(\mod x^n)$

$G(x)=2H(x)-F(x)H^2(x)$

然后已知 $H(x)$ 就能做了。递归下去就行了。。

一般都写成非递归。

	void INV(ll *s,ll *f,int n)
	{
		S[0]=ksm(f[0],mod-2);S[1]=0;
		for(int len=2;len<=(n<<1);len<<=1)
		{
			ll lim=(len<<1);
			for(int i=0;i<len;i++) A[i]=f[i],B[i]=S[i];
			for(int i=len;i<lim;i++) A[i]=B[i]=0;
			pre(len,0);
			NTT(A,lim,1); NTT(B,lim,1);
			for(int j=0;j<lim;j++)
				S[j]=(2*B[j]%mod+mod-A[j]*B[j]%mod*B[j]%mod)%mod;
			NTT(S,lim,-1);
			for(int j=len;j<lim;j++) S[j]=0;
		}
		for(int i=0;i<=n;i++) s[i]=S[i];
	}

多项式对数函数（ln）

设 $G(x)=\ln(F(X))$

同时求导

$G'(x)=\ln '(F(x))$

然后复合函数求导拆开

$G'(x)=\frac{F'(x)}{F(x)}$

然后先求导，再求逆，最后积分一下就行。

求导： $(x^\alpha)' = \alpha x^{\alpha -1}$

积分： $\int \alpha x^{\alpha-1}=x^{\alpha}$

$\int x^\alpha=\frac 1 {\alpha+1} x^{\alpha+1}$

多项式指数函数（exp）

给出 $f(x)$ 求 $g(x)\equiv e^{f(x)}\pmod {x^n}$

$f(x)\equiv\ln g(x)$

$f(x)-\ln g(x)\equiv 0$

令 $h(t)=f(x)-\ln t$ ，那么 $h(g(x))\equiv 0$

令 $h(g_0(x))\equiv 0\pmod {x^{\frac n 2}}$

$g(x)\equiv g_0(x)-\frac {f(g_0(x))}{h'(g_0(x))}$

$\equiv g_0(x)-\frac {f(x)-\ln g_0(x)}{-\frac 1 {g_0(x)}}$

$\equiv g_0(x)-g_0(x)\ln g_0(x)+g_0(x)f(x)$

$\equiv g_0(x)(1-\ln g_0(x)+f(x))$

然后就能算了。

多项式除法

给 $n$ 项多项式 $f(x)$ ，和 $m$ 项多项式 $g(x)$ ，求 $n-m$ 项的多项式 $q(x)$ ，以及 $m-1$ 项的 $r(x)$ ，满足 $f(x)\equiv g(x) q(x)+r(x)$

神奇的转化。

令 $f_r(x)$ 为把 $f(x)$ 翻转过来后的多项式，一定有 $f_r(x)=f(x)x^n$ 。

把 $\frac 1 n$ 代入上式， $f(\frac 1 n)\equiv g(\frac 1 n)q(\frac 1 n)+r(\frac 1 n)$

式子同时乘 $x^n$ ，得到 $f_r(x)\equiv g_r(x)q_r(x)+r_r(x)\times x^{n-m+1}$

然后 $f_r(x)\equiv g_r(x)q_r(x) \pmod {x^{n-m+1}}$

直接多项式求逆即可

多项式开根

已知 $f(x)$ ，求 $g^2(x)\equiv f(x)\pmod {x^n}$

$f(x)-g^2(x)\equiv 0\pmod {x^n}$

令 $h(t)=f(x)-t^2,h(g(x))\equiv 0 \pmod {x^n}$

牛顿迭代，令 $h(g_0(x))\equiv 0\pmod {x^{\frac n 2}}$

$g(x)\equiv g_0(x)-\frac{f(x)-g_0^2(x)}{-2g_0(x)}$

然后稍微化简一下， $g(x)\equiv \frac {g_0(x)+\frac{f(x)}{g_0(x)}}{2}$

多项式快速幂

已知 $f(x)$ 和 $k$ ，求 $g(x)\equiv f^k(x)$

同时取 $\ln$ ， $\ln g(x)\equiv k \ln f(x)$

$g(x)=\exp (k\ln f(x))$

前提是 $f(0)=1$

全套模板（未完工）

namespace POLY
{
	ll A[maxn],B[maxn],pos[maxn],S[maxn];
	const int mod=998244353,g=3,ginv=332748118;
	ll ksm(ll x,int y)
	{
		ll ret=1;
		while(y)
		{
			if(y&1) ret=ret*x%mod; 
			x=x*x%mod; y>>=1;
		}
		return ret;
	}
	int pre(int n,int m)
	{
		int lim=0;
		while((1<<lim)<=n+m) lim++;
		for(int i=0;i<=(1<<lim);i++)
				pos[i]=(pos[i>>1]>>1)|((i&1)<<(lim-1));
		return lim;
	}
	void NTT(ll *f,ll n,int opt)
	{
		for(int i=0;i<n;i++) if(i<pos[i]) swap(f[i],f[pos[i]]);
		for(int i=1;i<n;i<<=1)
		{
			ll step=ksm((opt>0?g:ginv),(mod-1)/(2*i));
			for(int j=0;j<n;j+=i+i)
			{
				ll cur=1;
				for(int k=j;k<j+i;k++)
				{
					int gx=f[k],hx=1ll*cur*f[k+i]%mod;
					f[k]=(gx+hx)%mod;f[k+i]=(gx-hx+mod)%mod;
					cur=cur*step%mod;
				}
			}
		}
		if(opt==-1)
		{
			int ninv=ksm(n,mod-2);
			for(int i=0;i<n;i++) f[i]=f[i]*ninv%mod;
		}
	}
	void MUL(ll *s,ll *f,ll *h,int n,int m)
	{
		int lim=pre(n,m);
		for(int i=0;i<=n;i++) A[i]=f[i];
		for(int i=0;i<=m;i++) B[i]=h[i];
		for(int i=n+1;i<=(1<<lim);i++) A[i]=0;
		for(int i=m+1;i<=(1<<lim);i++) B[i]=0;
		NTT(A,(1<<lim),1);NTT(B,(1<<lim),1);
		for(int i=0;i<=(1<<lim)-1;i++) s[i]=A[i]*B[i]%mod;
		NTT(s,(1<<lim),-1);
	}
	void INV(ll *s,ll *f,int n)
	{
		S[0]=ksm(f[0],mod-2);S[1]=0;
		for(int len=2;len<=(n<<1);len<<=1)
		{
			ll lim=(len<<1);
			for(int i=0;i<len;i++) A[i]=f[i],B[i]=S[i];
			for(int i=len;i<lim;i++) A[i]=B[i]=0;
			pre(len,0);
			NTT(A,lim,1); NTT(B,lim,1);
			for(int j=0;j<lim;j++)
				S[j]=(2*B[j]%mod+mod-A[j]*B[j]%mod*B[j]%mod)%mod;
			NTT(S,lim,-1);
			for(int j=len;j<lim;j++) S[j]=0;
		}
		for(int i=0;i<=n;i++) s[i]=S[i];
	}
	void ADD(ll *s,ll *f,ll *h,int n,int m)
	{
		for(int i=0;i<=max(n,m);i++) s[i]=(f[i]+h[i])%mod;
	}
	void DEL(ll *s,ll *f,ll *h,int n,int m)
	{
		for(int i=0;i<=max(n,m);i++) s[i]=(f[i]-h[i]+mod)%mod;
	}
	void REV(ll *f,int n)
	{
		for(int i=0;i<=n/2;i++) swap(f[i],f[n-i]);
	}
	void DIV(ll *q,ll *r,ll *f,ll *h,int n,int m)
	{
		static ll A[maxn],B[maxn],C[maxn],D[maxn];
		for(int i=0;i<=n;i++) A[i]=C[i]=f[i];
		for(int i=0;i<=m;i++) B[i]=D[i]=h[i];
		REV(A,n); 
		REV(B,m); 
		INV(B,B,n-m); 
		MUL(q,A,B,n,n-m);
		for(int i=n-m+1;i<=n+n-m;i++) q[i]=0;
		REV(q,n-m);
		MUL(D,D,q,m,n-m);
		DEL(r,C,D,n,n);
	}
	void SQRT(ll *s,ll *f,int n)
	{
		static ll S[maxn],A[maxn],B[maxn],C[maxn];
		S[0]=1;
		for(int len=1;len<=(n<<1ll);len<<=1)
		{
			ll lim=len<<1;
			for(int i=0;i<len;i++) A[i]=f[i],B[i]=S[i];
			for(int i=len;i<lim;i++) A[i]=B[i]=C[i]=0;
			INV(C,B,len);
			pre(len,0); NTT(A,lim,1); NTT(C,lim,1);
			for(int j=0;j<lim;j++) S[j]=A[j]*C[j]%mod;
			NTT(S,lim,-1);
			ADD(S,S,B,lim,lim);
			ll inv2=ksm(2,mod-2);
			for(int i=0;i<lim;i++) S[i]=S[i]*inv2%mod;
			for(int i=len;i<lim;i++) S[i]=0;

		}
		for(int i=0;i<=n;i++) s[i]=S[i];
	}	
	void MUL_integer(ll *s,ll *f,int n,ll k)
	{
		for(int i=0;i<=n;i++) S[i]=f[i]*k%mod;
		for(int i=0;i<=n;i++) s[i]=S[i];
	}
	void DERIV(ll *s,ll *f,int n)
	{
		static ll A[maxn];A[n]=0;
		for(int i=1;i<=n;i++) A[i-1]=f[i]*i%mod;
		for(int i=0;i<=n;i++) s[i]=A[i];
	}
	void LIMIT(ll *s,ll *f,int n)
	{
		A[0]=0;
		for(int i=0;i<n;i++) A[i+1]=f[i]*ksm(i+1,mod-2)%mod;
		for(int i=0;i<=n;i++) s[i]=A[i];
	}
	void Ln(ll *s,ll *f,int n)
	{
		static ll A[maxn],B[maxn];
		int lim=pre(n,n);
		for(int i=0;i<=n;i++) A[i]=f[i],B[i]=0;
		for(int i=n+1;i<=(1<<lim);i++) A[i]=B[i]=0;
		DERIV(B,A,n); 
		INV(A,A,n); 
		MUL(A,A,B,n,n);
		LIMIT(A,A,n);
		for(int i=0;i<=n;i++) s[i]=A[i];
	}
	void EXP(ll *s,ll *f,int n)
	{
		static ll A[maxn],B[maxn],C[maxn],S[maxn];
		S[0]=1; S[1]=0;
		for(ll len=2;len<=(n<<1);len<<=1)
		{
			int lim=len<<1;
			for(int i=0;i<len;i++) A[i]=f[i],B[i]=S[i];
			for(int i=len;i<lim;i++) A[i]=B[i]=C[i]=0;
			Ln(C,B,len-1);
			for(int i=0;i<len;i++) C[i]=(A[i]-C[i]+mod)%mod;
			C[0]=(C[0]+1)%mod;
			pre(len,0); NTT(B,lim,1); NTT(C,lim,1);
			for(int j=0;j<lim;j++) S[j]=B[j]*C[j]%mod;
			NTT(S,lim,-1);
			for(int j=len;j<lim;j++ )S[j]=0;
 		}
 		for(int i=0;i<=n;i++) s[i]=S[i];
	}	
	void POW(ll *s,ll *f,int n,ll k)
	{
		int lim=pre(n,n);
		for(int i=0;i<=n;i++) A[i]=f[i];
		for(int i=n+1;i<=(1<<lim);i++) A[i]=0;
		Ln(A,A,n); MUL_integer(A,A,n,k);
		EXP(A,A,n);
		for(int i=0;i<=n;i++) s[i]=A[i];
	}
	const int img=86583718;
	void sin(ll *s,ll *f,int n)
	{
		static ll S[maxn],H[maxn];
		for(int i=0;i<=n;i++) S[i]=f[i]*img%mod;
		EXP(S,S,n); INV(H,S,n);
		ll t=ksm(2*img%mod,mod-2);
		for(int i=0;i<=n;i++)
			s[i]=(S[i]-H[i]+mod)%mod*t%mod;
	}
	void cos(ll *s,ll *f,int n)
	{
		static ll S[maxn],H[maxn];
		for(int i=0;i<=n;i++) S[i]=f[i]*img%mod;
		EXP(S,S,n); INV(H,S,n);
		ll t=ksm(2,mod-2);
		for(int i=0;i<=n;i++)
			s[i]=(S[i]+H[i])%mod*t%mod;	
	}
	void ARCSIN(ll *s,ll *f,int n)
	{
		static ll A[maxn],B[maxn];
		for(int i=0;i<=n;i++) A[i]=B[i]=f[i];
		DERIV(B,B,n); MUL(A,A,A,n,n);
		for(int i=0;i<=n;i++) A[i]=(mod-A[i])%mod;
		A[0]=(A[0]+1)%mod;
		SQRT(A,A,n);
		INV(A,A,n);
		MUL(A,A,B,n,n);
		LIMIT(A,A,n);
		for(int i=0;i<=n;i++) s[i]=A[i];
	}
	void ARCTAN(ll *s,ll *f,int n)
	{
		static ll A[maxn],B[maxn];
		for(int i=0;i<=n;i++) A[i]=B[i]=f[i];
		DERIV(B,B,n); MUL(A,A,A,n,n);
		A[0]=(A[0]+1)%mod;
		INV(A,A,n);
		MUL(A,A,B,n,n);
		LIMIT(A,A,n);
		for(int i=0;i<=n;i++) s[i]=A[i];
	}
}

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本文作者：cc0000

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