欧拉定理

欧拉定理

若 \(gcd(a,m)=1\),则

\[a^{\phi(m)} \equiv 1 \pmod m \]

\(\phi(m),m>1\)表示\(\le m\)的数中与\(m\)互质的正整数的个数

证明

设与\(m\)互质的数为\(b_1,b_2,...,b_{\phi(m)}\)

\(\because gcd(a,m)=1\)

\(\therefore ab_1,ab_2,...,ab_{\phi(m)}\)都与\(m\)互质，且均不相同

\(\therefore \{ b\}\)中，每个数都与\(\{ab\}\)中的一个数同余，且一一对应。

\(\therefore a^{\phi(m)}\prod_{i=1}^{\phi(m)}b_i \equiv \prod_{i=1}^{\phi(m)}ab_i\equiv \prod_{i=1}^{\phi(m)} b_i \pmod m\)

\(\therefore m|a^{\phi(m)}\prod_{i=1}^{\phi(m)}b_i-\prod_{i=1}^{\phi(m)}b_i\)

即\(m|(a^{\phi(m)}-1 \prod_{i=1}^{\phi(m)}b_i\)

又\(\because gcd(m,\prod_{i=1}^{\phi(m)}b_i)=1\)

\(\therefore m|a^{\phi(m)}-1\)

即有\(a^{\phi(m)}\equiv 1\pmod m\)

费马小定理

当\(p\)为质数,则

\[a^{p-1}\equiv 1 \pmod m \]

\(\because \text{此时},\phi(p)=p-1\)

可见，费马小定理是欧拉定理的一种特殊情况

扩展欧拉定理

即\(gcd(a,m) \ne 1\)时

先看\(gcd(a,m)=1\)

\[a^c \equiv a^{c \bmod \phi(m)} \pmod m \]

...

当\(gcd(a,m) \ne 1,c<\phi(m)\)时

\[a^c \equiv a^{c}\bmod m \]

无需证明

当\(gcd(a,m) \ne 1,c \ge \phi(m)\)时，

\[a^c \equiv a^{c \bmod \phi(m)+\phi(m)}\pmod m \]

证明

设\(p\)为\(a\)的质因子，令\(m=s \times p^r,gcd(s,p)=1\)

\(p^{\phi(s)} \equiv 1 \pmod m\)

\(\because \text{s不含因子p}\)

\(\therefore \phi(s)|\phi(m)\)

\(\therefore p^{\phi(m)} \equiv 1 \pmod s\)

\(\to p^{k \phi(m)}\equiv 1 \pmod s\)

$\to p^{k \phi(m)+r}\equiv p^r \pmod {s \times p^r} $

$\to p^{k \phi(m)+r+c}\equiv p^{r+c} \pmod m $

\(\because k,c \in \mathbb{N}^+\)

\(\therefore \text{上述可表述为：若}c \ge r,\text{则} p^c \equiv p^{k \phi(m)+c} \pmod m\)

设\(a\)中含有因子\(p^k,c \ge \phi(m) \ge r\)

\[(p^k)^c \equiv q^{kc} \equiv p^{k \phi(m)+c} \equiv (p^k)^{\phi(m)+c} \equiv (p^k)^{t \phi(m)+c} \pmod m,t \in \mathbb{N^+} \]

\[\to (p^k)^c \equiv (p^k)^{c \bmod \phi(m)+\phi(m)},\text{保证指数}\ge \phi(m) \]

\(a\)的每个因子满足上式

根据同余的性质 则\(a^c \equiv a^{c \bmod \phi(m)+\phi(m) \pmod m}\)

于是

\[a^b =\begin{cases} a^b,b<\phi(p)\\a^{b \bmod \phi(p) + \phi(p)},b \ge \phi(p) \end{cases} \]

练习题就是上一篇的两道题

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略
=====这是华丽的分割线
\(\text{心上的伤，只有自己最疼;难言的痛,只有自己最懂.其实，很多心事,不必说给每个人听}\)