奇技淫巧
\[\sum_{i=1}^n i^3=(\sum_{i=1}^ni)^2 \tag{1}
\]
归纳证明。
\[\sum_{i=1}^n i^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\tag{2}
\]
略证：
\[1^2+2^2+\dots+n^2\\
(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1\\
n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1\\
\dots\\
\]
\[(n+1)^3-1=3*(1^2+2^2+\dots+n^2)+3*(1+2+\dots+n)+n\\
\sum_{i=1}^ni^2=\frac{1}{3}((n+1)^3-(n+1)-3\sum_{i=1}^ni)\\
=\frac{(n+1)^3-(n+1)-\frac{3}{2}(1+n)n}{3}\\
=\frac{(n+1)(2(n+1)^2-3n-2)}{3}\\
=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\\
\]
斐波那契生成函数 \(F\) 满足：
\[x^2F+xF+x=F\\
F=\frac{x}{1-x-x^2}
\]
斐波那契通项公式
\[F(i)=\frac{(\frac{1+\sqrt{5} }{2})^i-(\frac{1-\sqrt{5} }{2})^i}{\sqrt{5} }
\]
斐波那契前缀和
\[S_n=f_{n+2}-1
\]
卡特兰生成函数 \(C\) 满足：
由
\[C^2=\sum_{n=0}^{+\infty}\sum_{i=0}^nC(i)C(n-i)x^n\\
C(n+1)=\sum_{i=0}^nC(i)C(n-i)\\
\]
得
\[xC^2+1=C\\
C=\frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}
\]
排列的最长上升子序列和最长下降子序列最多只有一个位置重合
