n∑i=1i3=(n∑i=1i)2(1)
归纳证明。
n∑i=1i2=n(n+1)(2n+1)6(2)
略证:
12+22+⋯+n2(n+1)3−n3=3n2+3n+1n3−(n−1)3=3(n−1)2+3(n−1)+1…
(n+1)3−1=3∗(12+22+⋯+n2)+3∗(1+2+⋯+n)+nn∑i=1i2=13((n+1)3−(n+1)−3n∑i=1i)=(n+1)3−(n+1)−32(1+n)n3=(n+1)(2(n+1)2−3n−2)3=n(n+1)(2n+1)6
斐波那契生成函数 F 满足:
x2F+xF+x=FF=x1−x−x2
斐波那契通项公式
F(i)=(1+√52)i−(1−√52)i√5
斐波那契前缀和
Sn=fn+2−1
卡特兰生成函数 C 满足:
由
C2=+∞∑n=0n∑i=0C(i)C(n−i)xnC(n+1)=n∑i=0C(i)C(n−i)
得
xC2+1=CC=1−√1−4x2x
排列的最长上升子序列和最长下降子序列最多只有一个位置重合
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