奇技淫巧

\[\sum_{i=1}^n i^3=(\sum_{i=1}^ni)^2 \tag{1} \]

归纳证明。

\[\sum_{i=1}^n i^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\tag{2} \]

略证：

\[1^2+2^2+\dots+n^2\\ (n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1\\ n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1\\ \dots\\ \]

\[(n+1)^3-1=3*(1^2+2^2+\dots+n^2)+3*(1+2+\dots+n)+n\\ \sum_{i=1}^ni^2=\frac{1}{3}((n+1)^3-(n+1)-3\sum_{i=1}^ni)\\ =\frac{(n+1)^3-(n+1)-\frac{3}{2}(1+n)n}{3}\\ =\frac{(n+1)(2(n+1)^2-3n-2)}{3}\\ =\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\\ \]

斐波那契生成函数 \(F\) 满足：

\[x^2F+xF+x=F\\ F=\frac{x}{1-x-x^2} \]

斐波那契通项公式

\[F(i)=\frac{(\frac{1+\sqrt{5} }{2})^i-(\frac{1-\sqrt{5} }{2})^i}{\sqrt{5} } \]

斐波那契前缀和

\[S_n=f_{n+2}-1 \]

卡特兰生成函数 \(C\) 满足：

由

\[C^2=\sum_{n=0}^{+\infty}\sum_{i=0}^nC(i)C(n-i)x^n\\ C(n+1)=\sum_{i=0}^nC(i)C(n-i)\\ \]

得

\[xC^2+1=C\\ C=\frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x} \]

排列的最长上升子序列和最长下降子序列最多只有一个位置重合