奇技淫巧

(1)i=1ni3=(i=1ni)2

归纳证明。

(2)i=1ni2=n(n+1)(2n+1)6

略证:

12+22++n2(n+1)3n3=3n2+3n+1n3(n1)3=3(n1)2+3(n1)+1

(n+1)31=3(12+22++n2)+3(1+2++n)+ni=1ni2=13((n+1)3(n+1)3i=1ni)=(n+1)3(n+1)32(1+n)n3=(n+1)(2(n+1)23n2)3=n(n+1)(2n+1)6

斐波那契生成函数 F 满足:

x2F+xF+x=FF=x1xx2

斐波那契通项公式

F(i)=(1+52)i(152)i5

斐波那契前缀和

Sn=fn+21

卡特兰生成函数 C 满足:

C2=n=0+i=0nC(i)C(ni)xnC(n+1)=i=0nC(i)C(ni)

xC2+1=CC=114x2x

排列的最长上升子序列和最长下降子序列最多只有一个位置重合

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