有助于复杂度分析的一些小技巧

有助于复杂度分析的一些小技巧

本文考虑一个严格大于等于的上界，然后加以感性分析。本文仅考虑最坏情况并忽略可忽略的常数。

按单元分析

也许你可以弄一些什么高级的东西去弄，但是既然是技巧就是简单点的东西。

你可以考虑每个点最多提供多少的复杂度贡献，然后累计分析。

例1：分析线段树合并的空间复杂度，如果我们对于每个点的线段树都进行一次单点操作，每次都最多新建 \(\log n\) 个点，于是最坏空间复杂度 \(n\log n\)。

按照不断趋向分析

有一个终止条件，如果每次操作都至少向终止条件走一步，那么最坏复杂度就是起始条件到终止条件的步数。

一个典型例子是双指针向中间逼近，总共之会走 \(n\) 步，复杂度 \(n\)。

按照趋向速率分析

有一个终止条件，如果每次操作都至少向终止条件的路程变为原来的 \(\frac{1}{k}\)，那么复杂度 \(\log_k n\)。

当然具体问题不一定这么简单，考虑分析线段树区间操作的复杂度。

考虑 \([l,r]\) 的区间，每次切半，每个子区间都会贴到上界或下界，之后每次切半都会使得至少一半的区间被完全包含，途径的节点类似两条链接一些节点，最坏复杂度 \(4\log n\)。

势能分析和均摊分析

和上面两个类似，但是我们直接用上面的方法判断出来的上界过于松散，使得有些复杂度正确（或者说无法被 hack）的做法被误判。

于是可以考虑构建势能函数处理。当然也可以均摊分析，不过感性一点就是了。

设第 \(i\) 次操作的实际复杂度为 \(a_i\) ，根据具体情况构造势能函数，设 \(\Delta_i\) 为第 \(i\) 次操作与第 \(i-1\) 次操作的势能差 \(\varphi(i)-\varphi(i-1)\)，然后记 \(b_i=a_i+\Delta_i\) ，那么总复杂度：

\[\sum_{i=1}^na_i=\sum_{i=1}^n b_i+\varphi(0)-\varphi(n) \]

例1：区间开根的静态线段树，支持区间和查询。分析暴力开根的复杂度。

设势能为区间和不为 \(0\) 的线段树节点的个数，对包含同一个点的区间每极少个操作（至少小于等于 \(\log w\)）使得势能减少至少 \(1\) 。考虑中庸之道，每次取长度为 \(\sqrt n\) 的区间操作，假设进行 \(n\) 次操作，每个点由抽屉原理平均进行 \(\sqrt n\) 次，于是只要 \(O(nk\log n)\) 的复杂度可以完成，其中 \(k\) 很小。

一些辅助计算复杂度的小性质

1.约数对的和数量级是 \(O(n\ln n)\) 的。

不会证明，但是考虑 \(\sum_{d|n}(d+\frac{n}{d})\)，总共 \(O(\sqrt n)\) 对，每对的和最大的 \(O(n)\) 其他的不断减小，结合题目数据范围可以大概猜测复杂度的正确性。

或者说，有调和级数公式：

\[\sum_{i=1}^n \frac{1}{i}>\ln(n+1) \]

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