多项式概念浅谈

多项式

形如 $f(x)=\sum_{i=0}^{n}a_ix^i$ 的式子叫做多项式。

我们称其最高次项的次数为该多项式的度，即 $deg~f$

多项式操作

我们提前申明：

$$f(x)=\sum_{i=0}^{n}a_ix^i \\ g(x)=\sum_{i=0}^{m}b_ix^i$$

已经本文仅对大部分多项式操作做一个初步了解，不对具体做法进行讲述。

多项式加法

对于两个多项式，让他们按次数合并同类项，即

$$f(x)+g(x)=\sum_{i=0}^{n}(a_i+b_i)x^i$$

这个式子我们可以在 $O(n)$ 的复杂度内计算。

多项式乘法

我们定义多项式的乘法：

$$f(x)g(x)=\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^ma_ib_ix^{i+j} \\ =\sum_{i+j=k}a_ib_jx^k$$

这个式子暴力计算复杂度是 $O(n^2)$ 的，但是我们可以用快速傅里叶变换将复杂度降低至 $O(n\log n)$。

具体要怎么操作我们这里不讲，而是留给另一个卷积专题。顺带一提，上面这个式子也被称为加法卷积。

多项式乘法模板题

多项式的逆元

对于 $f(x)$ 的模 $x^n$ 意义下的逆元 $g(x)$ ，满足：

$$f(x)g(x)\equiv 1 (mod~x^n)$$

意思就是说，我们只考虑两个多项式相乘得到的多项式的前 $n$ 项，其只有常数项是 $1$ ，其他项都为 $0$ 。然后对于要求了 $deg~g \le n$ 的，则此时的 $g$ 唯一。

多项式乘法逆

多项式的除法

我们对于多项式 $f,g$ 定义 $f/g$ 的商和余数 $q,r$。

具体地说，满足：

$$f(x)=q(x)g(x)+r(x) \\ f(x)\equiv r(x)~(mod~g(x)~)$$

多项式多点求值和插值

多点求值

给出多项式 $f(x)$ 和 $n$ 个横坐标 $x_i$ ，然后求 $f(x_i)$ 。

多点求值

插值

给出 $n$ 个点 $(x_i,y_i)$ 求出一个最高为 $n$ 次的多项式 $f(x)$。

拉格朗日插值