建图优化

缩点

之前提过，不再多说 link

去无用边优化建图

最为简单的就是去重边，删自环。

稍微升级一点就是最小生成树。

一个例题 CF1095F Make It Connected solution

前后缀优化建图

解决对于一个点向一段前缀或者后缀连边的问题。

具体的做法是将整个区间建立一条长为 $n$ 的虚链。这条虚链从后往前（这种是前缀，后缀是从前往后）连单向边，每个虚链上的点向真正的点连边。

那么我们连边（打个比方，从 $u$ 连到前缀 $[1,v]$）就只需要从 $u$ 的实点向 $v$ 的虚点连一条边即可。如果有边权的话我们只在下图中红边赋予边权，其他边边权为 $0$。复杂度 $O(m)$

线段树优化建图

可以解决区间、点之间连边的问题。复杂度都是 $O(m\log n)$ 的。

点连向区间

建立一颗父亲向儿子连单向边的入边线段树，叶子维护实点。

接下来我们直接像普通的查询区间一样，在树中查找出 $O(\log n)$ 个区间，然后点分别向这几个区间连边即可。

区间连向点

建立一颗儿子向父亲连单向边的出边线段树，叶子维护实点。

线段树中找到区间然后区间分别向这个点连边即可。

区间连区间

同时维护入边树和出边树即可。但是直接连是 $O(\log^2 n)$ 的，显得比较低端。

考虑统一建一个虚点让区间往那里连边即可。这个叶子节点共用只要两个树中叶子节点维护的编号相同即可。

注意一下这里的边是需要开到 $O(2\log n )$ 的。

例题 CF786B Legacy

参考代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define db double
#define filein(a) freopen(#a".in","r",stdin)
#define fileot(a) freopen(#a".out","w",stdout)
#define sky fflush(stdout);
#define gc getchar
#define pc putchar
#define Better_IO true
namespace IO{
	#if Better_IO==true
		char buf[(1<<20)+3],*p1(buf),*p2(buf);
		const int lim=1<<20;
		inline char gc(){
			if(p1==p2) p2=(p1=buf)+fread(buf,1,lim,stdin);
			return p1==p2?EOF:*p1++;
		}
		#define pc putchar
	#else
		#define gc getchar
		#define pc putchar
	#endif
	inline bool blank(const char &c){
		return c==' ' or c=='\n' or c=='\t' or c=='\r' or c==EOF;
	}
	inline void gs(char *s){
		char ch=gc();
		while(blank(ch) ) {ch=gc();}
		while(!blank(ch) ) {*s++=ch;ch=gc();}
		*s=0;
	}
	inline void gs(std::string &s){
		char ch=gc();s+='#';
		while(blank(ch) ) {ch=gc();}
		while(!blank(ch) ) {s+=ch;ch=gc();}
	}
	inline void ps(char *s){
		while(*s!=0) pc(*s++);
	}
	inline void ps(const std::string &s){
		for(auto it:s) 
			if(it!='#') pc(it);
	}
	template<class T>
	inline void read(T &s){
		s=0;char ch=gc();bool f=0;
		while(ch<'0'||'9'<ch) {if(ch=='-') f=1;ch=gc();}
		while('0'<=ch&&ch<='9') {s=s*10+(ch^48);ch=gc();}
		if(ch=='.'){
			db p=0.1;ch=gc();
			while('0'<=ch&&ch<='9') {s=s+p*(ch^48);p*=0.1;ch=gc();}
		}
		s=f?-s:s;
	}
	template<class T,class ...A>
	inline void read(T &s,A &...a){
		read(s);read(a...);
	}
};
using IO::read;
using IO::gs;
using IO::ps;
const int N=1e5+3;
const int N2=(N<<3);
const int M=(N<<3)+N*17;
const ll inf=1e18;
int n,m,s;
int head[N2],nxt[M];
struct Edge{
	int u,v,w;
}to[M];
int Etot=-1;
inline void link(int u,int v,int w){
	nxt[++Etot]=head[u];
	head[u]=Etot;
	to[Etot]={u,v,w};
}
int tot;
#define lc(x) (x<<1)
#define rc(x) (x<<1|1)
struct SegTree_in{
	struct node{
		int l,r,mid;
		int id;
	}t[N<<2];
	inline void build(int x,int l,int r){
		t[x].l=l;t[x].r=r;t[x].mid=(l+r)>>1;
		if(l==r){
			t[x].id=l;
			return;
		}else t[x].id=++tot;
		build(lc(x),l,t[x].mid);
		build(rc(x),t[x].mid+1,r);
		link(t[x].id,t[lc(x)].id,0);
		link(t[x].id,t[rc(x)].id,0);
	}
	inline void Link(int x,int u,int l,int r,int w){
		if(l<=t[x].l and t[x].r<=r){
			link(u,t[x].id,w);
			return;
		}
		if(l<=t[x].mid) Link(lc(x),u,l,r,w);
		if(t[x].mid+1<=r) Link(rc(x),u,l,r,w);
	}
}in;
struct SegTree_ot{
	struct node{
		int l,r,mid;
		int id;
	}t[N<<2];
	inline void build(int x,int l,int r){
		t[x].l=l;t[x].r=r;t[x].mid=(l+r)>>1;
		if(l==r){
			t[x].id=l;
			return;
		}else t[x].id=++tot;
		build(lc(x),l,t[x].mid);
		build(rc(x),t[x].mid+1,r);
		link(t[lc(x)].id,t[x].id,0);
		link(t[rc(x)].id,t[x].id,0);
	}
	inline void Link(int x,int u,int l,int r,int w){
		if(l<=t[x].l and t[x].r<=r){
			link(t[x].id,u,w);
			return;
		}
		if(l<=t[x].mid) Link(lc(x),u,l,r,w);
		if(t[x].mid+1<=r) Link(rc(x),u,l,r,w);
	}
}ot;
#undef lc
#undef rc
ll dis[N2];
bool vis[N2];
struct node{
	int x;ll val;
	inline friend bool operator < (node x,node y){
		return x.val>y.val;
	}
};
inline void Dijkstra(){
	static std::priority_queue<node>q;
	for(int i=1;i<=tot;++i){
		dis[i]=inf;
	}
	dis[s]=0;
	q.push({s,0});
	while(!q.empty() ){
		int u=q.top().x;q.pop();
		if(vis[u]) continue;vis[u]=1;
		for(int i=head[u];~i;i=nxt[i]){
			int v=to[i].v,w=to[i].w;
			if(dis[v]>dis[u]+w){
				dis[v]=dis[u]+w;
				if(!vis[v]) q.push({v,dis[v]});
			}
		}
	}
}
int main(){
	filein(a);fileot(a);
	read(n,m,s);
	tot=n;
	memset(head,-1,sizeof(head) );
	in.build(1,1,n);ot.build(1,1,n);
	for(int i=1;i<=m;++i){
		int op,u,v,l,r,w;
		read(op);
		if(op==1){
			read(u,v,w);
			link(u,v,w);
		}
		if(op==2){
			read(u,l,r,w);
			in.Link(1,u,l,r,w);
		}
		if(op==3){
			read(u,l,r,w);
			ot.Link(1,u,l,r,w);
		}
	}
	Dijkstra();
	for(int i=1;i<=n;++i){
		printf("%lld ",dis[i]==inf?-1:dis[i]);
	}
	return 0;
}

参考文献

线段树优化建图

线段树优化建图