序理论

偏序集合

一个集合 $P$ 内的 $\le$ 满足偏序则 $P$ 为 偏序集合。

$\le$ 为偏序则其具有 自反性，反对称性，递移性 ，即对于 $a,b,c\in P$ ，满足：

1. $a\le a$
2. 如果 $a\le b$ 且 $b\le a$ ，那么 $a=b$
3. 如果 $a\le b$ 且 $b\le c$ ，那么 $a\le c$

当 $\forall a,b\in P,a\le b$ 或 $b\le a$ 成立时， 集合 $P$ 称为 全序集合（或者链）。

打个比方，实数集合就是一个全序集合，以及一个以整除关系定义 $\le$ 的某个有限整数集合是个偏序集合。

实际上偏序关系可以建成拓扑图，所以全序集合叫链（虽然图上是完全图，但是可以通过链来完全表示偏序关系）。如果偏序集中不存在任何可比的两个元素，我们称之为 反链 。表现在图上为多个单点。

一些概念

对于偏序集合 $P$：

大与小是一个正好相反的概念，就不多赘述。

最小元素 ：满足 $\forall x\in P,m\le x$ ，则 $m$ 为最小元素。

极小元素：拓扑图末端元素。满足 $\forall x\in P，x\le m$ 时 $x=m$ 成立，则 $m$ 为极小元素。

打个比方，对于以整除关系定义 $\le$ 的集合 $S=\{2,3,4,5,6\}$ ，有极小元素 $2,3,5$ 和极大元素 $4,5,6$。

Dilworth定理

偏序集能划分成的最少的全序集的个数等于其最大反链的元素个数。

即：

最小链覆盖=最长反链长度

最小反链覆盖=最长链长度

证明：

结论的话画画图就知道了，比较显然。$n$ 个互相没有偏序关系的点至少要用 $n$ 个全序集合才能囊括，由于 $n$ 是最长反链长度，那么此时使用这 $n$ 个全序集合已经覆盖全图，即为最小链覆盖。

第二个结论只需要每条链上拿出一个放到一个反链，一直放直到放完，这样保证了每次覆盖的数量尽可能多。

一些应用

导弹拦截

经典题，第一问就是最长不增子序列，第二问要求最少将序列划分为多少个非递增序列。我们考虑怎么搞第二问。

我们刚证明了最小链覆盖=最长反链覆盖。我们对于 $\ge$ 建立拓扑图，那么找到最长上升子序列就是最长反链。只需要求最长上升子序列即可。

String Coloring

求最小不降子序列覆盖及其方案。转换成求最长下降子序列覆盖。然后考虑如何构造方案。也简单，直接就是以当前字符为结尾的最长下降子序列长度即可。

bzoj1143 祭祀

直接找最长反链长度=最小链覆盖。用 $floyd$ 跑一下把拓扑图补成偏序关系图。然后直接二分图匹配即可。