莫比乌斯反演

狄利克雷卷积

定义:$(f*g)(n)=\sum_{d|n}f(d)g(n/d)$

很显然满足交换律和结合律。

积性函数

为积性函数的有:

$I (n)$ (或$1(n)$ ),恒等于1，所以叫恒等函数

$\epsilon (n)$ (或者$e(n)$ ),当且仅当 $n=1$ 时，其值为 $1$,否则为 $0$,其满足($e*f=f$)(因此为狄利克雷卷积的单位元)

$id(n)=n$ 为单位函数。

以上为完全积性函数。

完全积性函数:对于任意整数 $a$ 和 $b$ 满足 $f(ab)=f(a)f(b)$

以及：

$\varphi (n)$ ,欧拉函数，小于 $n$ 的整数中与 $n$ 互质的数的个数。

$\mu (n)$ ,莫比乌斯函数，接下来我们重点讲，暂且不介绍。

积性函数:对于两个整数 $a,b$ ，满足 $(a,b)=1$ ，则 $f(ab)=f(a)f(b)$

虽然没有完全积性函数优美，但是这很好吧，这可以吧。(

然后研究一下这个积性函数的性质。

• 积性函数 $f$,总满足 $f(1)=1$

这个易证了，$f(1)=f(1)f(1)$

• 两积性函数之积为积性函数。

这个稍微难一点。

证明:

定义两个积性函数 $f,g$ ,其卷积为 $G=f*g$.

任取两个互质的数 $a,b$

$G(a)G(b)$

$=\sum_{d|a}f(d)g(b/d)*\sum_{t|b}f(t)g(b/t)$

$=\sum_{d|a}\sum_{t|b}f(d)g(a/d)f(t)g(b/t)$

$=\sum_{dt|ab}f(dt)g(ab/dt)$

$=G(ab)$

$Q.E.D.$

• 积性函数的逆也是积性函数

归纳证明，就不证明了

莫比乌斯函数

引入

对于两个函数 $f,F$,满足 $F(n)=\sum_{d|n}(1*f(d) )$

等价于 $F=\Iota *f$,然后有 $f=\Iota^{-1}*F$

我们把 $\Iota^{-1}$ 称为 $\mu$ 莫比乌斯函数。

也就有 $f=\mu *F$

定义:

然后有个性质：

• $(\mu *1)=e$

从定义出发易证。互逆的两个函数卷起来是单位元。

• $\varphi *1=id$ ,然后 $\varphi=\mu *id$

由 $\varphi *1=id$，且 $\mu *1=e$

得 $\varphi * 1 *\mu=id*\mu$ 即 $\varphi=\mu *id$

然后证一下 $\varphi *1=id$

想了解可以参考 OI wiki

莫比乌斯反演

进入正题。

• 嵌入式莫比乌斯反演

由 $\mu *1=e$ 得 $\sum_{d|n}\mu(d)=[n=1]$

因为 $[n|m][n/m=1]=[n=m]$

所以有 $[n|m]\sum_{d|(n/m)}\mu(d)=[n=m]$ (因为只有当n=1的时候这个玩意才满足)

可以这么转换。

• $\sum_{d|(i,j)}\mu (d)=[(i,j)=1]$

因为 $\sum_{d|(i,j)}\mu (d)=e(gcd(i,j) )$,易证

然后你肯定是要会算莫比乌斯函数的，开筛！

这个我们之前的博客中有，于是不多说了。筛

变换形式

• $F(n)=\sum_{d|n}f(d) \Leftrightarrow f(n)=\sum_{d|n}\mu(d)F(n/d)$

本质还是

$F=1*f \Leftrightarrow f=F*I^{-1} \Leftrightarrow f=F*\mu$

数论分块

用来计算形如 $\sum_{i=1}^{n}f(i)g(\lfloor \frac{n}{i} \rfloor)$ 的和式。

我们再单独来讲这个 数论分块

我们推个式子：

$ans=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[(i,j)=1]$

$=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\sum_{d|(i,j)}\mu(d)$

$=\sum_{d=1}^{min\{n,m\}}\mu(d)\sum_{d|i}^{n}\sum_{d|j}^{m}1$

$=\sum_{d=1}^{min\{n,m\}}\mu(d)\lfloor n/d \rfloor \lfloor m/d \rfloor$

这个式子我们可以 $O(n)$ 的算。

接下来我们用数论分块处理，达到 $O(\sqrt{n})$

总之莫反的题就是分为反演和分块，学懂了还是挺套路的。