二维计算几何点线

废话不多说，直接入正题。

误差

	const db eps=1e-9;
	inline int sgn(T x){
		return x<-eps?-1:x<eps?0:1;
	}

我们浮点数计算计算几何的时候是存在误差的，我们用上面这个函数来修正。

对于 $x < -eps$ ,我们认为它属于负数，返回 $-1$ .

对于 $-eps \le x < eps$ ,我们认为它属于是零，返回 $0$

剩下的属于正数，返回 $1$ .

这样我们先把比较运算写出来，然后移项成减法形式，再在外面套一层浮点数修正函数即可。

这个养成好习惯即可。

点(point)

我们已经非常熟悉的东西，由横纵坐标来组成。当然也有更高维的点，但是在这里我们暂且不提，只考虑二维的点。（不过高维的点也并不复杂，几维就是几个坐标）

我们这样存储：

struct node{
	db x,y;
	node(){}
	node(int _x,int _y){
		x=_x;y=_y;
	}
};
//这个db 是我 double 的宏定义，下同

向量(vector)

简言就是有方向的量。

我们可以认为向量是一条有向线段，但是它的其中一个点在坐标原点上，因此它既可以用来表示长度，还可以用来表示方向。

可以这么存储：

struct vect{
	db x,y;
	vect(){}
	vect(int _x,int _y){
		x=_x;y=_y;
	}
};

和物理里面的矢量差不多，好像就只有名字不一样。

所以显然，向量也是满足平行四边形法则的。具体来说就是对于两个向量，它们的和向量是满足其为两向量围成的平行四边形的对角线的。符号表示出来就是:

P_{1} (x_{1}, y_{1}) + P_{2} (x_{2}, y_{2}) = P_{s u m} (x_{1} + x_{2}, y_{1} + y_{2})

$P_1(x_1,y_1)+P_2(x_2,y_2)=P_{sum}(x_1+x_2,y_1+y_2)$

同理，有：

P_{1} (x_{1}, y_{1}) - P_{2} (x_{2}, y_{2}) = P_{s u m} (x_{1} - x_{2}, y_{1} - y_{2})

$P_1(x_1,y_1)-P_2(x_2,y_2)=P_{sum}(x_1-x_2,y_1-y_2)$

显然这种运算满足加法交换律，减法的结合律等。

那么我们可以为向量添加一些重载运算符。

	inline vect operator + (const vect &a){
		return (vect){x+a.x,y+a.y};
	}
	inline vect operator - (const vect &a){
		return (vect){x-a.x,y-a.y};
	}

加减介绍完了，现在介绍一下它的特殊运算。

点积(dot product)

先提出规定: $\lang A,B\rang$ 表示向量 $A$ , $B$ 之间的夹角。

对于向量 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$

d o t (A, B) = A \cdot B = x_{1} \cdot x_{2} + y_{1} \cdot y_{2} = | A | \cdot | B | \cdot c o s ⟨ A, B ⟩

$dot(A,B)=A\cdot B=x_1\cdot x_2+y_1\cdot y_2=\lvert A\rvert \cdot \lvert B\rvert \cdot cos\lang A,B \rang$

那么这个玩意有什么用呢？你发现这个东西的符号和 $cos<A,B>$ 是同号的，所以可以判断两向量夹角是第几象限角。

如果点积为正，则夹角在第一、四象限

如果点积为负，那么在第二、三象限

浅显一点，可以用来判断夹角是钝角还是锐角还是直角。但是首先保证角度 $\alpha \in [0,\pi]$

如果点积为正，则夹角是锐角或者零角

如果点积为负，那么是钝角或平角

如果点积为 $0$ ，那么就是直接了

叉积(cross product)

c r o s s (A, B) = A \times B = x_{1} \cdot y_{2} - x_{2} \cdot y_{1} = | A | \cdot | B | \cdot s i n ⟨ A, B ⟩

$cross(A,B)=A\times B=x_1\cdot y_2-x_2\cdot y_1=|A|\cdot |B|\cdot sin\lang A,B\rang$

如果叉积为正，则夹角在第一、二象限

如果叉积为负，那么在第三、四象限

显然满足 $P\times Q=-(Q\times P)$ 和 $P\times (-Q)=-(P\times Q)$

我们还有一个性质：

若 $P\times Q>0$ 时， $P$ 位于 $Q$ 的顺时针方向

若 $P\times Q=0$ 时， $P$ 与 $Q$ 共线，同向或反向

若 $P\times Q<0$ 时， $P$ 位于 $Q$ 的逆时针方向

然后我们发现根本不需要单独的一个点，向量可以完全代替它。为了方便，我们鸠占鹊巢，给向量的结构体改名为 $point$ .

现在一个较为完整的向量结构体成型了。

struct point{
    db x,y;
    point(){}
    point(db _x,db _y){
        x=_x;y=_y;
    }
    inline point operator + (const point &a){
        return {x+a.x,y+a.y};
    }
    inline point operator - (const point &a){
        return {x-a.x,y-a.y};
    }
    inline bool operator == (const point &a){
        return sgn(x-a.x)==0 and sgn(y-a.y)==0;
    }
	inline db operator * (const point &a){
		return x*a.y-y*a.x;
	}
};
inline db dot(const point &a,const point &b){
    return a.x*b.x+a.y*b.y;
}

看起来挺不错的。

线(line)

对于线段，我们可以用两个向量(其端点)表示

对于直线和射线，我们考虑一个向量表示基础点，另外一个向量表示方向。但是直线不考虑正反，射线需要考虑。

然后我们判断两条线段是否相交。下面我们介绍一种方法。

设这两条线段为 $P_1P_2$ 和 $Q_1Q_2$

首先我们进行快速排斥实验，如果 $P_1P_2$ 对角线形成的矩形与 $Q_1Q_2$ 对角线形成的矩形没有交点，那么直接可以判断线段无交。这个很好判断，用矩形的左下角和右上角的点来判断即可。

显然如果两线段相交，会满足他们互相跨立对方。而如果 $P_1P_2$ 跨立 $Q_1Q_2$ 那么，肯定有 $(P_1-Q_1)$ 和 $(P_2-Q_1)$ 都在 $(Q_1-Q_2)$ 两侧，即 $[(P_1-Q_1)\times (Q_1-Q_2)]\times [(P_2-Q_1)\times (Q_1-Q_2)]<0$ .等于 $0$ 的情况我们考虑一下，发现：在经过的快速排斥实验的情况下， $P_1P_2$ 的端点肯定在 $Q_1Q_2$ 上，所以有交点。