随笔分类 -  数学

摘要:线性代数 替换定理 对于向量空间 S 的一组基底 A={a1,a2,...,an}S 的一个线性无关组 B={b1,b2,...,bm} ,有 AA 满足 AB 仍然为 S 的一组基底,而 阅读全文
posted @ 2022-09-04 22:40 cbdsopa 阅读(258) 评论(1) 推荐(0) 编辑
摘要:进制位骚操作总结 lowbit 最低的为 1 的二进制位。 x&-x 利用负数二进制存储为补码的性质,我们知道负数补码是按位取反后+1,也就是原来最低的连续的一段 0 会疯狂进位直到遇到第一个 1 ,和原数按位与一下就可以了。 highbit 最高的为 1 的二进制位 阅读全文
posted @ 2022-07-29 16:43 cbdsopa 阅读(52) 评论(0) 推荐(0) 编辑
摘要:多项式入门教程 基础概念 形如 F(x)=a1+a2x+a3x2+...+anxn 的东西叫多项式。 然后,这个 n 可以是无穷大的。 其中上面的 ai 称为多项式的第 i 项系数。 多项式乘法 即各项相乘,假设有两个多项式 \(F(x)=\sum_{i 阅读全文
posted @ 2022-07-07 22:26 cbdsopa 阅读(143) 评论(0) 推荐(0) 编辑
摘要:更新日志 Update 2022/6/26 增加了一个组合恒等式及其证明 Update 2022/6/27 增加了一个组合恒等式及其证明 组合数学 基础概念 加法和乘法原理 加法原理 同一步下的不同选择,可以通过累加得到方案数。 乘法原理 整个流程的方案数可以由每一步的方案数相乘得到。 有了加法原理 阅读全文
posted @ 2022-05-27 23:04 cbdsopa 阅读(1113) 评论(0) 推荐(1) 编辑
摘要:数论 概念基础 注:本文默认 n/d 为下取整的除法。 整除 定义:对于两个数 a,b ,我们称 a|b ,当且仅当存在一个 k 使得 b=ak 。 这个运算有一些稍微值得被称为性质的性质,如下: 性质1 该运算具有传递性,即 a|bb|c 阅读全文
posted @ 2022-05-03 19:16 cbdsopa 阅读(225) 评论(0) 推荐(0) 编辑
摘要:多项式 形如 f(x)=i=0naixi 的式子叫做多项式。 我们称其最高次项的次数为该多项式的度,即 deg f 多项式操作 我们提前申明: \[ f(x)=\sum_{i=0}^{n}a_ix^i \\ g(x)=\sum_{i=0}^{m}b_ix^i 阅读全文
posted @ 2022-04-26 14:49 cbdsopa 阅读(288) 评论(0) 推荐(0) 编辑
摘要:偏序集合 一个集合 P 内的 满足偏序则 P 为 偏序集合。 为偏序则其具有 自反性,反对称性,递移性 ,即对于 a,b,cP ,满足: aa 如果 abba ,那么 a=b 如果 ab 且 $b 阅读全文
posted @ 2022-04-11 18:24 cbdsopa 阅读(248) 评论(0) 推荐(0) 编辑
摘要:康托展开 可以用于求 全排列 的排名(字典序)。 我们先给定一组排列。这里为了举例方便就拿了 OI-wiki 上的例子 {2,5,3,4,1} 了。 我们第一位是 2 ,那么以 1 开头的就都比它小。后面的也是同理的搞法,就是看当前这位有多少个比它小还之前没有出现过的数( 阅读全文
posted @ 2022-04-04 10:09 cbdsopa 阅读(29) 评论(0) 推荐(0) 编辑
摘要:素数判定 暴力 本质上是检查其是否能够不用其本身进行质因数分解。 直接枚举从区间 [2,n) 的数看其是否整除 n 即可。但是其实发现我们只要枚举到 n 即可,复杂度 O(n)。 inline bool prime(ll n){ for(int i=2;i*i 阅读全文
posted @ 2022-03-25 15:01 cbdsopa 阅读(59) 评论(0) 推荐(0) 编辑
摘要:可参考资料: 资料1 资料2 实现如下: LL CRT(){ LL num=1,ans=0; for(int i=1;i<=n;++i) num*=a[i]; for(int i=1;i<=n;++i){ LL mum=num/a[i],x,y; exgcd(mum,a[i],x,y); ans=( 阅读全文
posted @ 2022-02-24 10:56 cbdsopa 阅读(24) 评论(0) 推荐(0) 编辑
摘要:前置知识 对于N={n/i|i[1,n]}. (1) 满足 n/i=xN 的最大的 in/x. (1)证明: 显然有 \(x\le n/ 阅读全文
posted @ 2022-02-24 10:55 cbdsopa 阅读(43) 评论(0) 推荐(0) 编辑
摘要:狄利克雷卷积 定义:(fg)(n)=d|nf(d)g(n/d) 很显然满足交换律和结合律。 积性函数 为积性函数的有: I(n) (或1(n) ),恒等于1,所以叫恒等函数 ϵ(n) (或者e(n) ),当且仅当 n=1 时, 阅读全文
posted @ 2022-02-24 10:54 cbdsopa 阅读(42) 评论(0) 推荐(0) 编辑
摘要:直接给公式,你会发现它直接覆盖了费马小定理。 ab=ab%φ(p),gcd(a,p)=1 (mod p) =ab,gcd(a,p)1,b<φ(p) (mod p) \(=a^{b\%\varphi(p)+\varphi(p) 阅读全文
posted @ 2022-02-24 10:53 cbdsopa 阅读(28) 评论(0) 推荐(0) 编辑
摘要:P1082 #include<bits/stdc++.h> using namespace std; #define file(a) freopen(#a".in","r",stdin),freopen(#a".out","w",stdout) int exgcd(int a,int b,int & 阅读全文
posted @ 2022-02-24 10:19 cbdsopa 阅读(19) 评论(0) 推荐(0) 编辑
摘要:优秀资料 素数 这个很好写。我们可以很好的理解埃氏筛,然后加一些优化即可得到线性筛。 inline void get_pri(int n){ for(int i=2;i<=n;++i) not_pri[i]=0; not_pri[1]=1; for(int i=2;i<=n;++i){ if(!no 阅读全文
posted @ 2022-02-24 10:17 cbdsopa 阅读(43) 评论(0) 推荐(0) 编辑
摘要:我们对于一个要求的数论函数 f(x),定义 S(n)=i=1nf(x) 然后我们考虑构造一个 S(n) 关于 S(ni) 的一个递推式子。 我们发现,对于任意的一个数论函数 g(x) ,我们有: $$\sum_{i=1 阅读全文
posted @ 2022-02-24 10:16 cbdsopa 阅读(22) 评论(0) 推荐(0) 编辑
摘要:筛选素数 枚举每个数,并枚举它的倍数,给它的倍数打上非质数标记 用bitset存储标记会加速一倍,空间开销小一倍 { pri[1]=1; for(int i=2;i<=n;i++) { if(!pri[i]) { for(int j=2;i*j<=n;j++) { pri[i*j]=1; } } } 阅读全文
posted @ 2022-02-24 10:14 cbdsopa 阅读(39) 评论(0) 推荐(0) 编辑
摘要:优点: 1.回带比原版高斯消元少,速度更快(一般情况下) 2.精度更好 3.代码实现更简单 代码如下:模板P3389 #include<bits/stdc++.h> using namespace std; #define file(a) freopen(#a".in","r",stdin),fre 阅读全文
posted @ 2022-02-24 10:13 cbdsopa 阅读(23) 评论(0) 推荐(0) 编辑
摘要:前置知识 矩阵乘法 矩乘快速幂 领接矩阵k次方的意义 因为我不知道怎么证明这个,就直接告诉你,若 A 是一个领接矩阵,那么 Ai,jn 的意义为点 i,到达点 j 长度为 k 的路径数量。 是不是看着就觉得很好用 但是很显然 k 比较大的时候我们不可能一层一层乘上去。所以 阅读全文
posted @ 2022-02-24 10:11 cbdsopa 阅读(175) 评论(0) 推荐(0) 编辑
摘要:封装一个矩阵,带乘法,加法和清空 struct matrix { int n,m; long long a[N][N]; friend matrix operator * (matrix x,matrix y) { matrix c; c.n=x.n;c.m=y.m; c.clear(0); for 阅读全文
posted @ 2022-02-24 10:11 cbdsopa 阅读(39) 评论(0) 推荐(0) 编辑

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