牛顿-莱布尼茨公式证明
推导一：
定义一个变上限积分函数
，让函数
获得增量
，则对应的函数增量
根据积分中值定理可得，
所以
因为
所以
即
推导二：
我们用分点
将被积区间 等分成
个小区间，每个小区间长度为
。相应的原函数
的总改变量
可分为
个部分改变量的和。即：
根据微分中值定理，在每个小区间 内，一定存在一点
，使得
。
从而
。
当 时，根据定积分的定义，我们有
。
上面的公式被认为是微积分中最重要的公式。它的存在，避免了利用定义求定积分时可能会遇到的复杂性与技巧性，使得定积分的计算过程大大简化，同时也把定积分（被定义为积分和的极限）与不定积分（被定义为原函数）两个看起来毫不相干的概念联系起来。这个公式就是大名鼎鼎的「微积分基本定理」。
值得注意的是，微积分基本定理也不是万能的。利用微积分基本定理求定积分，需要求出被积函数的不定积分。但是，求原函数并不都是很容易的，有时甚至原函数根本无法用初等函数表示。况且从工程、技术、科研、经济、金融等实际应用中遇到的大量被积函数，常常是用表格或曲线给出的，这时写不出被积函数的表达式，当然也就无法用式子写出它的原函数。这时，我们通常借助数值计算法求出定积分的近似值。在计算机广泛应用的今天，数值计算在复杂的大数据面前显得更加重要。
