POJ 1061 青蛙的约会 题解

青蛙的约会

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Description

两只青蛙在网上相识了，它们聊得很开心，于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上，于是它们约定各自朝西跳，直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情，既没有问清楚对方的特征，也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的，它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去，总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上，不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙，你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面，会在什么时候碰面。
我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B，并且规定纬度线上东经0度处为原点，由东往西为正方向，单位长度1米，这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x，青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B一次能跳n米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。

Input

输入只包括一行5个整数x，y，m，n，L，其中x≠y < 2000000000，0 < m、n < 2000000000，0 < L < 2100000000。

Output

输出碰面所需要的跳跃次数，如果永远不可能碰面则输出一行"Impossible"

Sample Input

1 2 3 4 5

Sample Output

4

记青蛙A，B各跳了K步后的位置为x+m*k,y+n*k，因为他们绕着环一直跳，我们可以把这个环看成以一圈周长为单位的无线长直线，当x+m*k=y+n*k ± z*L的时候他们相遇，± z*L表示A或者B有可能多跳了z圈然后相遇，我们对x+m*k=y+n*k ± z*L左右两边同时模L，可以得到：x+m*k=y+n*k  (mod L) ，移项后得：(x-y)=k*(n-m)  (mod L)

现在的问题就是求解线性同余方程的最小正整数解即可。

AC code:

#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll exgcd(ll a,ll b,ll& x,ll& y)
{
    ll d=a;
    if(b){
        d=exgcd(b,a%b,y,x);
        y-=(a/b)*x;
    }
    else{
        x=1;y=0;
    }
    return d;
}
int main()
{
    //freopen("input.txt","r",stdin);
    ll x,y,n,m,l;
    scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&x,&y,&m,&n,&l);
    ll a=(n-m+l)%l,b=(x-y+l)%l,p=l;
    ll X,Y;
    ll d=exgcd(a,p,X,Y);
    if(b%d!=0)    printf("Impossible\n");
    else{
        X=X*(b/d);
        p=p/d;
        X=(X%p+p)%p;
        printf("%lld\n",X);
    }
    return 0;
}