中国剩余定理详解

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中国剩余定理用于求解线性同余方程组：

a = a1 (mod n1)

a = a2 (mod n2)

a = a3 (mod n3)

........

a = ai (mod ni)

任意ni和nj（i != j）互质，问a的值。

我们可以把a写成a=Σai*ci，（ci待求），这个式子要满足两个条件：

1.任意i!=j时ai*ci%nj=0

2.满足ai*ci%ni=ai。

只要满足了这两个条件的a就是我们要求的a。

如何求ci?：

因为正整数n1,n2......ni都互质，那么任意 i != j 都有gcd(ni,nj)=1。

设mi=（n)/ni。其中n=n1*n2*n3*.......*ni。

于是有gcd(ni,mi)=1。

根据扩欧的性质我们知道，存在mi',ni'使得mi*(mi')+ni*(ni')=1。

在模ni的条件下就是:mi*(mi') = 1 (mod ni)。------①

显然，令ci=mi*(mi')，这样的ci是满足条件2的（将①左右同时×ai）

又因为mi包含有nj(i!=j) ，则mi*(mi')%nj =0(i!=j)，左右同时×ai得到ai*mi*(mi')=0 (mod nj)所以条件1也成立

现在求ci就是求mi*mi'的问题。

mi和mi'都很好求。

mi=n/ni。

mi'直接用扩欧来求，实际上在求的过程我们发现mi'就是mi的逆元，用扩欧求mi相对ni的逆元就是我上面介绍的原理（如果ni和mi互质的话还可以用费马小定理求解逆元）

求出ai*mi*mi'后累加即可得到a。

到此，中国剩余定理就讲完了。

模板：

void ext_gcd(int a,int b,int &d,int &x,int &y)
{
    if(!b)
    {
        x=1;y=0;d=a;
        return ;
    }
    else
    {
        ext_gcd(b,a%b,d,y,x);
        y-=a/b*x;
    }
}
int a[100],m[100],M;///x=a[i](mod m[i])
int China(int r)
{
    M=1;
    for(int i=1;i<=r;i++) M*=m[i];
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=r;i++){
        int Mi=M/m[i],d,x0,y0;
        ext_gcd(Mi,m[i],d,x0,y0);
        ans=(ans+x0*a[i]*Mi)%M;
    }
    ans=(ans%M+M)%M;
    return ans;
}

 

END