Jordan normal form proof

对 \(n\) 归纳。不妨设 \(0\) 是 \(A\) 的一个特征值（因为可以对 \(A-\lambda I\) 做），则 \(A, A^2, \cdots\), 总有某个时刻 ker 会不变。不妨设为 \(A^s\). 容易发现 \(ker (A^s)\) 和 \(Im(A^s)\) 不交，因此整个空间等于 \(ker(A^s) \oplus Im(A^s)\)，并且两个都是不变子空间。由归纳假设，\(Im(A^s)\) 成立，因此只需要考虑 \(A\) 幂零的情形。
现假设 \(A\) 幂零。考察 \(Im(A)\)，利用归纳假设可以证明成立。对\(Im(A)\) 的每个链首，将其原像加入 Basis。再将 kernel 中不能表示的东西依次加入 basis，容易发现正确。