EI magic学习笔记

是选手的时候完全不会生成函数，退役了想要学一学。写个博客记录一下学习进程吧。

右复合

微分有限右复合：设 \(H = F(G)\)， \(F\) 微分有限，则可将 $F(G), F'(G), \cdots $用 \(H\) 表示，而后可以带入 \(Q(G, F(G), F'(G), \cdots)=0\) 得到 \(H\) 的微分方程。

拉格朗日反演

Laurent级数：允许初项是负的；从\(n_0\) 次开始。

形式留数：当 \(n_0=1\) 时，\([x^{-1}]F'(x)F^k(x)=[k=-1]\)。

（证明：当 \(k\ne -1\) 时，左式\(=1/(k+1)(F^{k+1}(x))'\)。当 \(k=-1\) 时成立。）

拉格朗日反演：\(n_0=1, F(G(x))=x\)，则 \(n[x^n]F(x)^k=k[x^{-k}]G(x)^{-n}\)。

证明：\(LHS=n[x^{-1}]F(G(x))^k/G^{n+1}G'=n[x^{-k-1}]G'G^{-(n+1)}=-[x^{-k-1}](G^{-n})'=k[x^{-k}]G^{-n}=RHS\).

常用形式：\([x^n]H(F(x))=1/n [x^{n-1}]H'(x)(x/G(x))^n\) 。（证明：只需验证 \(H=x^k\) 即可。）

用途：计算复合时，如果复合里的东西具有较好的形式（即：有复合逆），我们可以把问题变成计算 \(H'(x)\) 和 \(x/G(x)\) 的幂。例题的情形是二元多项式（即 \(H\) 的系数包含 \(y\)），此时可以使用复合的方法让 \(H'\) 中 \(y\) 的每次项系数是 \(x\) 的单项式、\(G\) 系数不含 \(y\)，从而完成计算。

拉格朗日反演的变式（可以在 \(n\) 不可逆时用）：\([x^n]F(x)^k=[x^{-k-1}]G(x)^{-n-1}G'\) （直接见拉格朗日反演证明第一步）

变式的带 \(H\) 形式：\([x^n]H(F(x))=[x^n]H(x)(x/G(x))^{n+1}G'(x)\)。

用途：感觉严格包含正常形式，并且不用求导，很方便。

模数很小：可以用类似卢卡斯定理的方法。

线性递推

\([x^n] P(x)/Q(x)=[x^n](P(x)Q(-x))/(Q(x)Q(-x))\)，此时分母的幂次均为 2 的倍数，只需保留分子中和 \(n\) 同奇偶性的部分然后递归。

多元集合幂级数

可以将 \((x_1, \cdots, x_n)\) 理解为 \(y_1, y_2, \cdots, y_n\) 进制数直接压平。为避免进位，我们对每一位计算一个校验码 (即：只考虑这一位往前的位的值。如果不进位，则结果校验码为原先总和，否则为原先总和加 \(1\))。将校验码相加模 \(n\) 即可。

转置原理

为计算 \(x[i]=\sum_{i, j} A[i, j]y[j]\)，只需计算 \(x[i]=\sum_{i, j} A[j, i]y[j]\) 而后将计算过程转置。
例题：给定二次多项式 \(F\) 和多项式 \(G\)，对每个 \(i\) 计算 \([x^n] F^i G\)。
解法：答案相当于 \(a_i = \sum_j [x^{n-j}]G_j [x^j]F^i\), 转置后只需计算 \(a_i=\sum_j [x^{n-j}]G_j [x^i]F^j\) 即 \(G^r(F_j)\). 二次多项式的复合可以通过配方解决，Done。