椭圆曲线复习
上学期选了个椭圆曲线课，但是太过匆忙、许多东西没学懂
打算找时间自己对着教材看看。把自己毛估估整的笔记发到这里备份一下
Chapter 2
2.8 Char 2 / Char 3
Char 2 下，Ellip curve 两种形式：
- \(y^2+xy+x^3+a_2 x^2 + a_6=0, a_6 \ne 0\)
- \(y^2+a_3y+x^3+a_4x+a_6=0, a_3 \ne 0\)
Char 3 下，无法消去 \(x^2\) 项。
2.9 Endomorphisms
Thm 2.22：非零的endomorphism都surjective。
Proof: 至多有一个 \(p(x)-aq(x)=0\) 无解；此时可表示为另两点的差。
\(dx/y\) 是 translation invariant。 并且是唯一的(up to scalar)。
Lemma 2.26 \(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\) endormophisms, such that \(\alpha_1 + \alpha_2 = \alpha_3\). Let \(\alpha_i = (P_i(x), yQ_i(x))\). 如果存在 \(c_i = P_i'/Q_i\)，则 \(c_1+c_2=c_3\)。
（事实上一定存在\(c_i\)：因为 \(dx/dy \circ \alpha\) 是平移不变的）
Proof: 链式法则（待完善）
Cor 2.28 对于 endomorphism \(nP\)，\(n(x, y) = (R(x), yS(x))\)， 有 \(R'/S = n\)。
Prop 2.29 \(r \phi_q+s\) seperable iff $p\nmid s $。
2.11 ellip curves mod n (n composite)
\((u, v, w)\) primitive in ring \(R\) : 1 is their \(R\) - linear combination
等价类：\((u, v, w) \sim (ku, kv, kw)\)
一些假设：
-
\(2 \in R^*\)（可逆）；
-
一个矩阵满足：所有元素 primitive，每个 2 * 2 余子式都是 0 则这个矩阵的行能组合出 primitive tuple
-
对于ellip curve，\(4A^3+27B^2 \in R^*\)
（小技巧：\(Z\) 上 2 没有逆元：可以考虑 \(a / 2^b\) 这个环）
加法：三个多项式公式的线性组合
Cor 2.32：对于 \((n_1, n_2) = 1\), 均为奇数, \(E(\Z_{n_1*n2}) \cong E(\Z_{n_1}) \oplus E(\Z_{n_2})\)（因为primitive tuples一一对应；公式在模意义下也对）
Cor 2.33：对于 \(\Q\) 下的 EC，如果\((n, 4A^3+27B^2)=1\)，则模 \(n\) 操作 是homomorphism。（因为加法公式在模意义下也对）
(具体而言：将 \(E(\Q)\) 写成 primitive tuple \((x:y:z) \in P^2(\Z)\)，每位模 \(n\)。)
Cor 2.34：对于 \(R, I\)， \((4A^3+27B^2)r-1 \in I\)，有类似的\(E(R) \to E(R/I)\) reduce。
Chapter 3
3.1 Torsion points
\(E[n] := {P \in E(\overline K), nP = \infin}\)
Theo 3.2: (\(p = char F\))
- 当 \(p \nmid n, E[n] \cong \Z(n) \oplus \Z(n)\)
- 否则 \(E[n] \cong \Z(n) \oplus \Z(n')\) 或 \(E[n] \cong \Z(n') \oplus \Z(n')\)，其中 \(n = p^r n'\)。
如果\(E[p] = \{0\}\)，称 \(p\) supersingular. 否则 \(p\) ordinary.
考虑\(p \nmid n, E[n] \cong \Z(n) \oplus \Z(n)\)的case。对于\(E(\overline K) \to E(\overline K)\) 的homomorphism，在\(E[n]\)上对应一个 2 x 2矩阵。
3.2 Division Polynomial
Definitions:
\(\psi_0 = 0, \psi_1 = 1, \psi_2=2y, \psi_3 = 3x^4+6Ax^2+12Bx-A^2, \psi_4 = 4y(x^6+5Ax^4+20Bx^3-5A^2x^2-4ABx-8B^2-A^3)\)
\(\psi_{2m+1}=\psi_{m+2}\psi_m^3-\psi_{m-1}\psi^3_{m+1} (m\ge 2)\)
\(\psi_{2m} = (2y)^{-1}\psi_m(\psi_{m+2}\psi_{m-1}^2-\psi_{m-2}\psi_{m+1}^2) (m\ge 3)\)
\(\psi_n\) : division polynomials.
\(\in \Z[x, y^2, A, B]\) when \(n\) odd;
\(\in 2y\Z[x, y^2, A, B]\) when \(n\) even.
\(\phi_m=x\psi_m^2-\psi_{m+1}\psi_{m-1}\)
\(\omega_m=(4y)^{-1}(\psi_{m+2}\psi_{m-1}^2-\psi_{m-2}\psi_{m+1}^2)\)
\(\phi_n \in \Z[x, y^2, A, B]\)
\(\omega_n \in \Z[x, y^2, A, B]\) when \(n\) Even,
$\in y\Z[x, y^2, A, B]$ when $n$ odd.
（证明额外的 \(2\) 因子：可以对 \(\psi_n\) 模 \(2\) 意义下的系数归纳。）
Lemma 3.5: \(\phi_n(x) = x^{n^2} + \cdots\)
\(\psi_n^2(x) = n^2x^{n^2-1}+\cdots\)
Thm 3.6: (\(char \ne 2\))
\(P=(x, y)\) on the curve \(y^2=x^3+Ax+B\)
Then $nP = $ \((\phi_n(x)/\psi_n^2(x), \omega_n(x, y)/\psi_n^3(x, y))\)
Cor 3.7: endomorphism nP has degree \(n^2\).
Proof: 只需证互素。考虑最小的不互素对，如果 \(n\) 是偶数，考虑先计算 \((n/2)P\) 再翻倍，可以导出 \(n/2\) 也不互素（对比首项系数/次数知和\(2(n/2)P\) 分子分母对应相等）。如果 \(n\) 是奇数，可以推出 \(\psi_{n+\delta} (\delta = \pm 1)\) 和 \(\psi_n\) 不互素。于是 \(\phi_{n+\delta}\) 和 \(\psi_{n+\delta}\) 不互素，此时下标变为偶数，可以除 \(2\) 。
下面证明关于 \(E[n]\) 结构的论断。
当\((n, p) = 1\)，我们有 \(\#E[n]=n^2\)。此时考察 \(E[n]\) 的结构，因为对于任何 \(E[l]\) 大小都是 \(l^2\)，所以至多分成两个循环群直积。又因为每个循环群大小都是 \(n\) 的因子，因此 \(E[n] \cong \Z(n) \oplus \Z(n)\)。
当 \(p\mid n\) 时：我们先证明 \(E[p^k] \cong \Z(p^k)\) 或 trivial（显然不能更大：因为inseperable）。由 surjective，得证。又 \(E[n] \cong E[n']\oplus E[p^r]\) ，这证明了 \(E[n]\) 的结构。
3.3 Weil pairing
Assume that \(p\nmid n, E[n] \cong \Z_n\oplus \Z_n\), let \(\mu_n = \{x\in \overline K|x^n=1\}\) （由于\(char\) 的假设，不含重根）。\(\mu_n\) 的generator: primitive \(n\)-th root of unity.
存在Weil Pairing \(e_n:E[n] \times E[n] \to \mu_n\)，满足：
- Bilinear in each variable
- nondegenerate in each variable (\(e_n(a, b)=1 (\forall b\in E[n]) \rightarrow a = \infin\))
- \(e_n(a, b)=e_n(b, a)^{-1}, e_n(a, a)=1\)
- \(e_n(\sigma a, \sigma b)=\sigma e_n(a, b)\) for all automorphism \(\sigma\) of \(\overline K\) that fixes the coefficients of \(E\).
- \(e_n(\alpha(a), \alpha(b)) = e_n(a, b)^{\deg \alpha}\) for all endomorphism \(\alpha\).
Cor 3.10: \(T_1, T_2\) 为 \(E[n]\) basis, 则 \(e_n(T_1, T_2)\) primitive.
Cor 3.11: \(E[n]\subset E(K) \rightarrow \mu_n\subset K\)。（取basis，由于fix K则fix 该单位根，由伽罗瓦理论单位根在 \(K\) 里）
Cor 3.13: \(E[n] \not\subset E(Q)\) when \(n \ge 3\)。
每个endomorphism \(\alpha\) 在 \(E[n]\) 上的操作对应一个2 x 2矩阵 \(\alpha_n\)。
Prop 3.15: \(\det \alpha_n \equiv \deg\alpha\) \(\mod n\) Proof: 考虑basis，由性质3，5即证。
Prop 3.16: \(\deg(a\alpha+b\beta)=a^2\deg\alpha+b^2\deg\beta+ab(\deg(\alpha+\beta)-\deg\alpha-\deg\beta)\). Proof: 模无穷个 \(n\) 都对。
3.4 Tate-Lichtenbaum Pairing
\(E\): ellip curve over \(\mathbb F_q\), \(n\mid q-1\), (so \(\mu_n\subset \mathbb F_q\))
\(P \in E(\mathbb F_q)[n], Q\in E(\mathbb F_q), R\in E(\overline {\mathbb F_q})\) such that \(nR = Q\)。
Define \(\tau_n(P, Q) = e_n(P, R-\phi(R))\), where \(\phi\) is the \(q\)-th power Frobenius endomorphism.
Then \(\tau_n: E(\mathbb F_q)[n] \times E(\mathbb F_q)/nE(\mathbb F_q) \to \mu_n\)，well-defined, nondegenerate, bilinear. （bilinear和well-defined容易验证；nondegenerate留到后续证明。）
