算法之简单选择排序和堆排序
3. 选择排序—简单选择排序（Simple Selection Sort）
基本思想：
在要排序的一组数中，选出最小（或者最大）的一个数与第1个位置的数交换；然后在剩下的数当中再找最小（或者最大）的与第2个位置的数交换，依次类推，直到第n-1个元素（倒数第二个数）和第n个元素（最后一个数）比较为止。
简单选择排序的示例：
操作方法：
第一趟，从n 个记录中找出关键码最小的记录与第一个记录交换；
第二趟，从第二个记录开始的n-1 个记录中再选出关键码最小的记录与第二个记录交换；
以此类推.....
第i 趟，则从第i 个记录开始的n-i+1 个记录中选出关键码最小的记录与第i 个记录交换，
直到整个序列按关键码有序。
void print(int a[], int n ,int i） { cout<<"第"<<i+1 <<"趟 : "; for(int j= 0; j<8; j++) { cout<<a[j] <<" "; } cout<<endl; } /*** 数组的最小值 ** @return int 数组的键值 */ int SelectMinKey(int a[], int n, int i) { int k = i; for(int j=i+1 ;j< n; ++j) { if(a[k] > a[j]) k = j; } return k; } /*** 选择排序 **/ void selectSort(int a[], int n) { int key, tmp; for(int i = 0; i< n; ++i) { key = SelectMinKey(a, n,i); //选择最小的元素 if(key != i) { tmp = a[i]; a[i] = a[key]; a[key] = tmp; //最小元素与第i位置元素互换 } print(a, n , i); } } int main() { int a[8] = {3,1,5,7,2,4,9,6}; cout<<"初始值："; for(int j= 0; j<8; j++) { cout<<a[j] <<" "; } cout<<endl<<endl; selectSort(a, 8); print(a,8,8); }
简单选择排序的改进——二元选择排序
简单选择排序，每趟循环只能确定一个元素排序后的定位。我们可以考虑改进为每趟循环确定两个元素（当前趟最大和最小记录）的位置,从而减少排序所需的循环次数。改进后对n个数据进行排序，最多只需进行[n/2]趟循环即可。具体实现如下：
void SelectSort(int r[],int n) { int i ,j , min ,max, tmp; for (i=1 ;i <= n/2;i++) { // 做不超过n/2趟选择排序 min = i; max = i ; //分别记录最大和最小关键字记录位置 for (j= i+1; j<= n-i; j++) { if (r[j] > r[max]) { max = j ; continue ; } if (r[j]< r[min]) { min = j ; } } //该交换操作还可分情况讨论以提高效率 tmp = r[i-1]; r[i-1] = r[min]; r[min] = tmp; tmp = r[n-i]; r[n-i] = r[max]; r[max] = tmp; } }
4. 选择排序—堆排序（Heap Sort）
堆排序是一种树形选择排序，是对直接选择排序的有效改进。
基本思想：
堆的定义如下：具有n个元素的序列（k1,k2,...,kn),当且仅当满足
时称之为堆。由堆的定义可以看出，堆顶元素（即第一个元素）必为最小项（小顶堆）。
若以一维数组存储一个堆，则堆对应一棵完全二叉树，且所有非叶结点的值均不大于(或不小于)其子女的值，根结点（堆顶元素）的值是最小(或最大)的。如：
（a）大顶堆序列：（96, 83,27,38,11,09)
(b) 小顶堆序列：（12，36，24，85，47，30，53，91）
初始时把要排序的n个数的序列看作是一棵顺序存储的二叉树（一维数组存储二叉树），调整它们的存储序，使之成为一个堆，将堆顶元素输出，得到n 个元素中最小(或最大)的元素，这时堆的根节点的数最小（或者最大）。然后对前面(n-1)个元素重新调整使之成为堆，输出堆顶元素，得到n 个元素中次小(或次大)的元素。依此类推，直到只有两个节点的堆，并对它们作交换，最后得到有n个节点的有序序列。称这个过程为堆排序。
因此，实现堆排序需解决两个问题：
1. 如何将n 个待排序的数建成堆；
2. 输出堆顶元素后，怎样调整剩余n-1 个元素，使其成为一个新堆。
首先讨论第二个问题：输出堆顶元素后，对剩余n-1元素重新建成堆的调整过程。
调整小顶堆的方法：
1）设有m 个元素的堆，输出堆顶元素后，剩下m-1 个元素。将堆底元素送入堆顶（（最后一个元素与堆顶进行交换），堆被破坏，其原因仅是根结点不满足堆的性质。
2）将根结点与左、右子树中较小元素的进行交换。
3）若与左子树交换：如果左子树堆被破坏，即左子树的根结点不满足堆的性质，则重复方法 （2）.
4）若与右子树交换，如果右子树堆被破坏，即右子树的根结点不满足堆的性质。则重复方法 （2）.
5）继续对不满足堆性质的子树进行上述交换操作，直到叶子结点，堆被建成。
称这个自根结点到叶子结点的调整过程为筛选。如图：
再讨论对n 个元素初始建堆的过程。
建堆方法：对初始序列建堆的过程，就是一个反复进行筛选的过程。
1）n 个结点的完全二叉树，则最后一个结点是第
个结点的子树。
2）筛选从第个结点为根的子树开始，该子树成为堆。
3）之后向前依次对各结点为根的子树进行筛选，使之成为堆，直到根结点。
如图建堆初始过程：无序序列：（49，38，65，97，76，13，27，49）
算法的实现：
从算法描述来看，堆排序需要两个过程，一是建立堆，二是堆顶与堆的最后一个元素交换位置。所以堆排序有两个函数组成。一是建堆的渗透函数，二是反复调用渗透函数实现排序的函数。
void print(int a[], int n) { for(int j= 0; j<n; j++) { cout<<a[j] <<" "; } cout<<endl; } /*已知H[s…m]除了H[s] 外均满足堆的定义 * 调整H[s],使其成为大顶堆.即将对第s个结点为根的子树筛选, * * @param H是待调整的堆数组 * @param s是待调整的数组元素的位置 * @param length是数组的长度 */ void HeapAdjust(int H[],int s, int length) { int tmp = H[s]; int child = 2*s+1; //左孩子结点的位置。(i+1 为当前调整结点的右孩子结点的位置) while (child < length) { if(child+1 <length && H[child]<H[child+1]) { // 如果右孩子大于左孩子(找到比当前待调整结点大的孩子结点) ++child ; } if(H[s]<H[child]) { // 如果较大的子结点大于父结点 H[s] = H[child]; // 那么把较大的子结点往上移动，替换它的父结点 s = child; // 重新设置s ,即待调整的下一个结点的位置 child = 2*s+1; } else { // 如果当前待调整结点大于它的左右孩子，则不需要调整，直接退出 break; } H[s] = tmp; // 当前待调整的结点放到比其大的孩子结点位置上 } print(H,length); } /** 初始堆进行调整 * 将H[0..length-1]建成堆 * 调整完之后第一个元素是序列的最小的元素*/ void BuildingHeap(int H[], int length) { //最后一个有孩子的节点的位置 i= (length -1) / 2 for (int i = (length -1) / 2 ; i >= 0; --i) HeapAdjust(H,i,length); } /* 堆排序算法*/ void HeapSort(int H[],int length) { //初始堆 BuildingHeap(H, length); //从最后一个元素开始对序列进行调整 for (int i = length - 1; i > 0; --i) { //交换堆顶元素H[0]和堆中最后一个元素 int temp = H[i]; H[i] = H[0]; H[0] = temp; //每次交换堆顶元素和堆中最后一个元素之后，都要对堆进行调整 HeapAdjust(H,0,i); } } int main() { int H[10] = {3,1,5,7,2,4,9,6,10,8}; cout<<"初始值："; print(H,10); HeapSort(H,10); //selectSort(a, 8); cout<<"结果："; print(H,10); }
分析:
设树深度为k，
。从根到叶的筛选，元素比较次数至多2(k-1)次，交换记录至多k 次。所以，在建好堆后，排序过程中的筛选次数不超过下式：
而建堆时的比较次数不超过4n 次，因此堆排序最坏情况下，时间复杂度也为：O(nlogn )。
