2018青岛网络赛G - Couleur 区间上的启发式合并
题意:给出\(a[1...n]\),共\(n\)次操作,每次删除一个位置\(p_i\)(强制在线),此时区间会变为两个分离的区间,求每次操作的最大区间逆序对
首先要知道必要的工具,按权值建立的主席树可以在\(O(nlogn)\)内得到任意区间长为\(n\)的逆序对
但每次切除的点如果是不断沿着边来切,那么要统计的区间总长是\(O(n^2)\)
考虑逆序对的贡献是可以互为计算得到的,那么能否每次只对相对较小的区间的复杂度进行统计,得到\(O(nlogn)\)的区间统计总长?
如果已知一个区间\([L,R]\)的总逆序对\(oldans\),切点为\(M\),且更靠左边,
那可以对小区间的逆序数对进行暴力统计,得到\([L,M-1]\)的所有相互贡献,此时记为\(ans1\)
然后再\(O(logn)\)计算\(a[M]\)对\([L,M-1]\)的贡献,记为\(tmp\)
最后询问\(T[R]-T[K]\)的子树中比\(a[i],i∈[L,M]\)小的个数,记为\(tmp2\)
那么区间\([L,M-1]\)的逆序数对为\(ans1\),\([M+1,R]\)的逆序数对为\(oldans-ans1-tmp-tmp2\)
以上操作均可以在\(O(nlogn)\)内完成,\(n\)为小区间的长度
切点靠右同理,因此总的复杂度为\(O(nlog^2n)\)
还有一些细节需要处理,如何在一开始就得知\([L,R]\)的总逆序数对,
初始化时先计算出\([1,n]\)的贡献,剩下的必然在前面的操作中已经统计得到\(ans1\)或\(ans2\)
考虑区间总是不断分裂的,我们可以用简单的平衡树来维护位置\(M\)对应最近的\(L\)和\(R\)
并且答案总是对应于每一个\(L\),都有一个唯一的\(R\)和\(ans\)相对应,这部分只需用简单的数组即可得到
而\(ans\)的最优解需要在分裂时及时删除对应的元素,再多拿一个multiset动态维护最大值即可
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<set>
#include<ctime>
#define rep(i,j,k) for(register int i=j;i<=k;i++)
#define rrep(i,j,k) for(register int i=j;i>=k;i--)
#define erep(i,u) for(register int i=head[u];~i;i=nxt[i])
#define fastIO ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0)
#define println(x) printf("%lld\n",(ll)(x))
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<ll,ll> pr;
const int MAXN = 1e5+11;
const int MAXM = 4e6+11;
const int MOD = 142857;
const int INF = 1<<30;
int T[MAXN];
int a[MAXN],p[MAXN];
struct FST{
int cnt[MAXM];
int lc[MAXM],rc[MAXM];
int tot;
void init(){tot=0;lc[tot]=rc[tot]=cnt[tot]=0;}
int build(int l,int r){
int cur=++tot;
lc[cur]=rc[cur]=cnt[cur]=0;
if(l==r) return cur;
int mid=l+r>>1;
lc[cur]=build(l,mid);
rc[cur]=build(mid+1,r);
return cur;
}
int update(int old,int l,int r,int k,int v){
int cur=++tot;
lc[cur]=lc[old];
rc[cur]=rc[old];
cnt[cur]=cnt[old]+v;
if(l==r) return cur;
int mid=l+r>>1;
if(k<=mid) lc[cur]=update(lc[old],l,mid,k,v);
else rc[cur]=update(rc[old],mid+1,r,k,v);
return cur;
}
ll query(int cur1,int cur2,int l,int r,int L,int R){//l r
if((cur2|cur1)==0) return 0;
if(L<=l&&r<=R) return cnt[cur2]-cnt[cur1];
ll ans=0;
int mid=l+r>>1;
if(L<=mid) ans+=query(lc[cur1],lc[cur2],l,mid,L,R);
if(R>mid) ans+=query(rc[cur1],rc[cur2],mid+1,r,L,R);
return ans;
}
}fst;
multiset<int> st;
//multiset<pr> inv[MAXN];
ll inv[MAXN],invans[MAXN];
multiset<ll> ans;
int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("stdin.txt","r",stdin);
#endif
int Test;
scanf("%d",&Test);
while(Test--){
int n;
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&p[i]);
if(n==1){
printf("0\n");
continue;
}
fst.init();
T[0]=fst.build(1,n);
for(int i=1;i<=n;i++){
T[i]=fst.update(T[i-1],1,n,a[i],1);
}
st.clear(); ans.clear();
st.insert(0),st.insert(n+1);
for(int i=0;i<=n+1;i++) inv[i]=0;
ll lastans=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
if(a[i]!=1){
lastans+=fst.query(T[i],T[n],1,n,1,a[i]-1);
}
}
inv[1]=n,invans[1]=lastans;
ans.insert(lastans);
printf("%lld ",lastans);
ll mx=lastans;
for(int i=1;i<n;i++){
int k=lastans^p[i];
st.insert(k);
multiset<int>::iterator it,lo,hi;
lo=hi=it=st.find(k);
--lo,hi++;//被砍的位置
int l=*lo,r=*hi;
l++,--r;//实际操作的位置
ll oldans=invans[l];
ans.erase(ans.find(invans[l]));//这个答案必然无效
if(l==k&&r==k){
ans.insert(0),ans.insert(0);
printf("%lld%c",lastans,i==n-1?'\n':' ');
continue;
}
if(l==k){
ll tmp=0;
if(a[k]>1) tmp=fst.query(T[k],T[r],1,n,1,a[k]-1);
inv[k+1]=r;
invans[k+1]=oldans-tmp;
ans.insert(0);
ans.insert(oldans-tmp);
lastans=*--ans.end();
printf("%lld%c",lastans,i==n-1?'\n':' ');
continue;
}
if(r==k){
inv[l]=0;
ll tmp=0;
if(a[k]<n) tmp=fst.query(T[l-1],T[k-1],1,n,a[k]+1,n);
inv[l]=k-1;
invans[l]=oldans-tmp;
ans.insert(0);
ans.insert(oldans-tmp);
lastans=*--ans.end();
printf("%lld%c",lastans,i==n-1?'\n':' ');
continue;
}
int len1=k-l+1,len2=r-k+1;
ll ans1=0,ans2=0;
if(len1<len2){
for(int j=l;j<k;j++){
if(a[j]>1){
ans1+=fst.query(T[j],T[k-1],1,n,1,a[j]-1);
}
}
ll tmp=0;
if(a[k]<n) tmp+=fst.query(T[l-1],T[k-1],1,n,a[k]+1,n);
// multiset<pr>::iterator t=inv[l].begin();
ans2=invans[l];
ans2-=(ans1+tmp);//此时包括a[k]的逆序对贡献
for(int j=l;j<=k;j++){
if(a[j]>1){
ans2-=fst.query(T[k],T[r],1,n,1,a[j]-1);//[k+1,r]
}
}
inv[l]=k-1; invans[l]=ans1;
inv[k+1]=r; invans[k+1]=ans2;
}else{
for(int j=k+1;j<=r;j++){
if(a[j]>1){
ans1+=fst.query(T[j],T[r],1,n,1,a[j]-1);//[k+1,r]
}
}
ll tmp=0;
if(a[k]>1) tmp+=fst.query(T[k],T[r],1,n,1,a[k]-1);//[k+1,r]
// multiset<pr>::iterator t=inv[l].begin();
ans2=invans[l];
ans2-=(ans1+tmp);
for(int j=k;j<=r;j++){
if(a[j]<n){
ans2-=fst.query(T[l-1],T[k-1],1,n,a[j]+1,n);//[l,k-1]
}
}
inv[l]=k-1; invans[l]=ans2;
inv[k+1]=r; invans[k+1]=ans1;//.insert(pr(k-1,ans2));
//inv[k+1].insert(pr(r,ans1));
}
ans.insert(ans1);
ans.insert(ans2);
printf("%lld%c",*--ans.end(),i==n-1?'\n':' ');
lastans=*--ans.end();
}
}
return 0;
}
