[合集]国庆休闲补题
Hrbust - 1846
题意:序列每个格子允许放O和X,求长度为n的序列中至少存放m个连续的O的方案数
设\(dp[i]\)为长度为\(i\)时的合法方案数
转移的个数来自于上一个状态的合法序列后面接上O和X,既\(dp[i-1]*2\)
也有可能来自于本来不合法的方案,转移后就合法了,那先固定一部分状态,因为转移后才合法,所以假定序列中[i-m+1,i]全部为O,那么前面就可以为所欲为,有\(2^{i-m}\)个状态,但\(2^{i-m}\)中会有合法方案的存在,因此需要减去已经合法的\(dp[i-m]\)个方案,剩下的是不合法的方案后面接上\([i-m+1,i]\)的全O的方案数.(然而这连样例都过不了)
YY了一下认为可能是非法方案转移途中还不到最后一位就合法了,而这已经囊括在\(dp[i-1]\)的范畴中,所以后半部分方程歪掉了,那就在\([i-m+1,i]\)置为O,而\(i-m\)处置为X,表示必须转移到最后一位才能形成合法的方案,那么转移用到的非法方案数为\(2^{i-m-1}-dp[i-m-1]\)
两部分加起来就可以了
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HDU - 4370
给定\(n*n\)矩阵\(C_{i,j}\),求构造一个\(n*n\)的01矩阵\(X_{i,j}\)
\(X_{i,j}\)满足约束第1行的和为1,第\(n\)列的和为1,其余的第\(i\)行的和等于第\(i\)列的和
使得\(\sum C_{i,j}*X_{i,j}\)最小
由于剧透,得知转化为图,节点1的出度为1,节点n的入度为1,其余\(1<i<n\)节点入度等于出度,\(C_{i,j}\)为\(i→j\)的权值
入度与出度相等意味着非起始点/终点或是可能有环,需要分别讨论1和n是否各自形成环,或者只是1到n的简单路径,对比一下权值即可
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FZU - 2234
题意:求双调最短路的最大价值
来回的过程可看作是两个人同时在起点走到终点,但物品只能取一次,但时间无法承受\(O(n^4)\)
因为走的是最短路,对于某个人已经走了\(k\)的长度,可以得到\(x_i+y_i=k+2\)
因此设\(dp[k][x_i][y_i]\)为走了k的长度时第一人在横坐标\(x_i\)而第二个人在横坐标\(x_j\)的最大价值
如果坐标相等则把两个物品的价值除二看作只拿一次
https://paste.ubuntu.com/p/nssf9KynCF/
Codeforces - 337D
题意:给出一棵n个点的树和m个标记的点,求存在多少个点离最远的标记点不超过d
不错的树形DP(换根大法好)
令\(f[i]\)为\(i\)与\(i\)子树下距离标记点最远的距离,若不存在则为\(-\infin\)(保证后面加法的正确性)
令\(g[i]\)为\(i\)与\(i\)子树以外的距离标记点最远的距离,若不存在则为\(-\infin\)
那么答案就是\(max(f[i],g[i])≤d\)的\(i\)的个数
\(f[i]\)很容易搞,只需\(f[u]=max(f[u],f[v]+1)\)
\(g[i]\)则需要考虑\(i\)的父亲以及\(i\)的兄弟,\(g[u]=max(g[u],g[fa]+1,f[v]+2)\)
很显然每个\(u\)对兄弟\(v\)的枚举可以被菊花树卡飞
那么需要一个简单优化,记录对于每个节点\(fa\)记录\(f[]\)最大的儿子节点\(best[fa]=v\)
那么对于枚举到本来就是一个父亲的\(best\)节点\(u\)时,对\(g[u]\)则需要暴力枚举所有兄弟,而不是\(best\)的节点时,\(g[u]=max(g[u],g[fa]+1,f[best[fa]]+2)\)
https://paste.ubuntu.com/p/9JcQYSjGHx/
Codeforces - 675E
题意:\(n\)个车站,每个车站\(i\)可花费用1到达车站\([i+1,a_i]\),设\(p[i][j]\)为\(i\)到\(j\)的最小费用,求\(\sum_{1≤i＜j≤n}p[i][j]\),\(n<10^6\)
代价为定值下可贪心的dp
设\(dp[i]\)为\(\sum_{i≤u<v≤n}p[u][v]\),那么答案就是\(\sum_{i=1}^{n-1}dp[i]\)
考虑怎么转移,首先可以知道的是对于\(i→[i+1,a_i]\)费用为1,\(i→[a_{i+1},a_{i+2},...,a_{a_i}]\)费用为2,以此类推
但\([a_{i+1},a_{a_i}]\)是非单调的,仍需要维护最大值让每次转移尽量远,令这个存在最大值的下标为\(m\)
那转移方程就是\(dp[i]=dp[m]+[(n-i)-(a_i-m)]\)
YY一下正确性,每次转移都按照这样的贪心策略,对于每一个\(i\)而言肯定是一种最快到达\(n\)的方案之一?
其实这样看的话这题不算是DP,只是一种记忆化手段
https://paste.ubuntu.com/p/xwHRv4SqSn/
Hrbust - 1256
题意:给出\(n\)个人,要求组建\(k\)支队去打铁,每支队的战力为\(a[i]+a[j]+a[k]+b[i][j]+b[i][k]+b[j][k]\),求最高总战力
范围\(n<19\)状压DP优化
首先\(O(n^3*2^n)\)没戏,需要压常数,参考dalao的发言,由于状态总是3个出现,与其暴力三层枚举,不如用k-1次凑数来更新答案,这样复杂度是\(O(能过)\)
https://paste.ubuntu.com/p/2wd72Ddg6B/
Codeforces - 611D
HDU - 6070
题意:求\(\frac{cnt[l,r]}{r-l+1}\)的最小值,\(cnt[l,r]\)表示区间\([l,r]\)的数值种类
分数规划问题考虑二分答案\(mid\),有\(cnt[l,r]≤(r-l+1)*mid\),次数需要维护种类数和长度的关系,不好check
把式子改为\(cnt[l,r]+(l-1)*mid≤r*mid\),每次check枚举右端点,左边用线段树更新答案,每次插入新的r更新只会影响cnt的值,只要记录各类型前一个值在哪即可,既维护一个动态的后缀
(感觉自己的counting能力太弱了)
https://paste.ubuntu.com/p/dtDGK6YPJT/
Codeforces - 817D
题意:求\(\sum max(a[l,r]) - \sum min(a[l,r])\)
喜闻乐见单调栈
首先求最小的部分,
对于每个\(i\),它能扩展到的极左边界为\(l[i]\),使得\(a[j]>a[i],j∈[l[i],i-1]\),并对应求出极右边界\(r[i]\),使得\(a[j]≥a[i],j∈[i,r[i]]\)
此时\(i\)对答案的贡献为\((i-l[i]+1)*(r[i]-i+1)\),注意包含\(i\)的区间个数应该是两边都有\(i\)的交集!
同理,维护最大的部分,对于每个\(i\),\(a[j]<a[i],j∈[l[i],i-1]\),并且\(a[j]≤a[i],j∈[i,r[i]]\)
https://paste.ubuntu.com/p/kY2Ws2bfG6/
Codeforces - 478D
题意:r个红方块和g个绿方块,要求第\(i\)行搭\(i\)个同色方块,求总共有多少种方案
垃圾题目,浪费时间
\(dp[i][j]\):第\(i\)层用了\(j\)个红方块的方案数,然后分别用红方块和绿方块转移即可,注意细节
尤其是sum的break判断不要放在while底部,因为这样h可能是刚好缺少的那一层
https://paste.ubuntu.com/p/jQJxsVmHcB/
Codeforces - 366C
题意:给出\(a[1...n],b[1...n]\),求\(\frac{\sum a[i]}{\sum b[i]}=k\)且\(\sum a[i]\)尽量大的集合方案,输出\(\sum a[i]\)
总费用为0的背包
由于是集合,每个元素最多只能拿一次,且要求价值和最大,符合01背包的背景
把式子展开为\(\sum a[i]-\sum k*b[i]=0\),可以看出体积为\(a[i]-k*b[i]\),价值为\(a[i]\)
对着跑一遍01背包就ok,目标是\(dp[n][0]\)
作死尝试unordered_map
https://paste.ubuntu.com/p/BkyMYqxzPJ/
Codeforces - 466D
HDU - 2833
HDU - 5242
Codeforces - 489F
题意:已知前m行01矩阵,求构造\(n*n\)的01矩阵使得每一行列只有2个1的方案数
\(dp[i][j][k]\):当前第\(i\)行的列和为0的总数是\(j\),列和为1的总数是\(k\)
由于要求每一行都要由2个1,就是说转移过程中新构造的一行必须填入2个1,这是突破口
\(dp[i][j][k]=dp[i-1][j+2][k-2]* {j+2 \choose 2} + dp[i-1][j+1][k]*(j+1)*(k)+dp[i-1][j][k+2]*{k+2\choose 2}\)
目标是\(dp[n][0][0]\)
但这样会T
一种解决方法是枚举\(i\)行和\(j\)个位置,可以计算得到\(k=(n-i+1)*2-j*2\)
https://paste.ubuntu.com/p/rjNc844Hcj/
HDU - 2853
HDU - 4360
Ural - 2080
观赏题:CF669D/51nod-1021/HDU4101/
OJ挂了:CSU1809
回收站:HDU4472/CF550C/CF660C/CF353D/Hrbust1774/CF430D
建图相关:CF821D(把行列看作点)
