BZOJ - 1257 分块 详解

中文题面
这道题就是LightOJ某题的升级版
前段时间我是直接用√k前暴力后分块的处理方式,然后直接套个等差求和
这次看到了dalao的证明再次让我知道我好菜啊
在这里做下笔记,学习一下对于整除运算的分析方法

关于\([\frac{k}{i}]×i,i∈[1,n]\)的处理
令\(x∈[1,k],g(x)=[k/[k/x]],f(x)=k/x\)
有\(g(x) = [k/[f(x)]] ≥ [k/f(x)] = x\)
得到\(g(x) ≥ x\),换为底 \([k/g(x)]≤[k/x]\) ①
另一方面\([k/g(x)] = [k/[k/[k/x]]] ≥ [k/k*[k/x]] = [k/x]\) ②
由①②可知\(x∈[1,k]\)时,\([k/g(x)]=[k/x]\)
既对所有的\(i∈[x,g(x)],[k/i]=[k/x]\)
既计算的规模取决于\(i\)和\([k/i]\),
\(i≤\sqrt{k}\)时,计算规模为\(\sqrt{k}\)(可认为\(i\)逐一计算)
\(i>\sqrt{k}\)时,计算规模为\([k/i]\)的不同的值,\(max{{[k/i]}}<\sqrt{k}\),规模还是\(\sqrt{k}\)(分段计算)
这也是之前可以暴力分块的依据,实际运算的时候要注意防止越界(n)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
int main(){
	ll n,k,ans,gx,l,r,w,val;
	while(cin>>n>>k){
		ans=n*k;
		for(int x=1; x<=n; x=gx+1){
			val=k/x;
			if(val==0) break;
			gx=min(k/(k/x),n);
			l=x,r=gx;
			w=r-l+1;
			ans -= val*(l+r)*w/2;
		}
		cout<<ans<<endl;
	}
	return 0;
}