数学基础-组合数学

排列数

定义

从 $n$ 个不同元素中任取 $m(n,m\in \mathbb{N},m\le n)$ 个元素按照一定顺序排成一列，叫做从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个元素的一个排列；从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个元素的所有排列的个数，叫做从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个元素的排列数，记作 $A_n^m$。

计算公式

排列数的计算公式如下：

$$A_n^m=n(n-1)(n-2)...(n-m+1)=\frac{n!}{(n-m)!}$$

其中 $n!=\prod _{i=1}^{n}i$。

组合数

从 $n$ 个不同元素中任取 $m(n,m\in \mathbb{N},m\le n)$ 个元素组成一个集合，叫做从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个元素的一个组合；从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个元素的所有组合的个数，叫做从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个元素的组合数，记作 $C_n^m$。

计算公式

组合数的计算公式如下：

$$C_n^m=\frac{A_n^m}{m!}=\frac{n!}{m!(n-m)!}$$

其中，$n!=\prod _{i=1}^{n}i$。

对称性

$$C_n^m=C_n^{n-m}$$

递推公式

$$C_n^m=C_{n-1}^{m-1}+C_{n-1}^m$$

三种实现方法

1.递推公式/杨辉三角
根据组合数的递推公式 $C_n^m=C_{n-1}^{m-1}+C_{n-1}^m$，用二维数组存储如下所示：

1
1	1
1	2	1
1	3	3	1
1	4	6	4	1
1	...	...	...	...	1

其中，$f[n][m]$ 表示 $C_n^m$。
此方法的时间复杂度和空间复杂度均为 $O(n^2)$，但其只需进行加法运算，且每次查询的时间复杂度为 $O(1)$，总时间复杂度为 $O(n^2+q)$。此方法适用于 $n$ 较小且查询次数 $q$ 较多的情况。

2.计算所有 $n!$ 及其乘法逆元 $(n!{)}^{-1}$
根据计算公式 $C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}$，用两个一维数组分别存储 $i!$ 及其乘法逆元 $(i!{)}^{-1}$，即 $fac[i]=i!,fac\mathrm{\_}inv[i]=(i!{)}^{-1}$，时间复杂度和空间复杂度均为 $O(n)$。
查询时计算 $C_n^m=fac[n]\times fac\mathrm{\_}inv[m]\times fac\mathrm{\_}inv[n-m]\mathrm{\%}p$，时间复杂度为 $O(1)$，总时间复杂度为 $O(n+q)$。此方法适用于 $n$ 不太大且查询次数 $q$ 较多的情况。

3.边乘边除
根据计算公式 $C_m^n=\frac{(n-m+1)\times (n-m+2)\times ...\times (n-1)\times n}{1\times 2\times ...\times (m-1)\times m}$，每次乘 $(n-m+i)$ 同时除 $i$，防止答案过大上溢出错。可用双指针优化，分母能除则除尽。单次计算的时间复杂度为 $O(m)$，空间复杂度为 $O(1)$，对于 $q$ 次查询，总时间复杂度为 $O(q\times m)$。此方法适用于 $n$ 较大但 $m$ 不太大且查询次数 $q$ 较少的情况。