楼梯算法 -- 重在思想

前一段时间遇到了一个算法题，印象非常深刻，题目也很简单：

一个人上楼梯，可以一次跨一阶楼梯，也可以一次跨两阶，但是最多一次跨三阶楼梯，请问，在 n 层楼梯的条件下，一个人上楼梯总共有几种方式？

举个例子： 比方说有 1 层楼梯，一个人只能跨一阶上去，也就是只有 1 种上楼梯的方法；

                若有 2 层楼梯，那么可以一阶一阶地上，也可以一次跨两阶，也就是有 2 种上楼梯的方法；

                若有 3 层楼梯，那么可以一阶一阶地上，也可以先跨两阶+后跨一阶，同样也能先跨一阶+后跨两阶，还可以一次跨三阶，也就是有 4 种上楼梯的方法；

                。。。

 

那么如果有 n 层，那有几种上方呢？？（附加：可以都列出来吗？）

 

思路：对于 n 层楼梯，分为三种情况：

1> 第一脚跨了一阶楼梯，那么就有 F(n - 1) 种上法（F 作为这个未知函数，返回 n 层楼梯有几种上法）；

2> 第一脚跨了两阶楼梯，那么就有 F(n - 2) 种上法；

3> 第一脚跨了三阶楼梯，那么就有 F(n - 3) 种上法。

 

故：F(n) = F(n - 1) + F(n - 2) + F(n - 3)

 

有了这个关系，相信写出一个递归地求几种上法的函数就不难了吧？

 

关键是：怎样把它们都列出来呢？

我试着用 JS 小小地实现了一下，效率不太高，仅供参考下，期待更好的答案。^ ^

(function(n){
	var t = [];
	if(n < 4)
		return n == 1 ? [1] : (n ==2 ? [11, 2] : [111, 12, 21, 3]);
	t[n] = [];
	for(var i = 1; i < 4; i ++){
		for(var j = 0, len = arguments.callee(n - i).length; j < len; j ++){
			t[n].push(String(i) + arguments.callee(n - i)[j]);
		}
	}
	return t[n];
})(6);

运行结果：

["111111", "11112", "11121", "1113", "11211", "1122", "1131", "12111", "1212", "1221", "123", "1311", "132", "21111", "2112", "2121", "213", "2211", "222", "231", "3111", "312", "321", "33"]