最大子序列问题及其求解----C 语言学习
这两天看了看最大子序列问题,顺便的做一下笔记,最大子序列问题相信大家都再熟悉不过了,来回顾一下问题:
给定整数(可能有负数),求的最大值(为方便起见,如果所有整数均为负数,则最大子序列和为 0 )。
下面来看三种实现方法:
1,使用两层 for 循环,算法复杂度显然是 O(N²):
int MaxSubSequenceSum(const int A[], int N) { int ThisSum, MaxSum, i, j; MaxSum = 0; for(i = 0; i < N; i ++)//外层的 for 循环 { ThisSum = 0; for(j = i; j < N; j ++)//内层的 for 循环 { ThisSum += A[j]; if(ThisSum > MaxSum) MaxSum = ThisSum; } } return MaxSum; }
这种方法似乎是我们最先想到的解决办法,当然也很好理解。
2,使用“分治(divide-and-conquer)”的策略,其想法是把问题分成两个大致相等的子问题,然后递归的对它们进行求解,其算法复杂度是 O(N logN):
为了便于理解,再来解释一下这种方法:在我们的例子当中,最大子序列和可能出现在三处,或者整个出现在输入数据的左半部,或者整个出现在右半部,或者跨越输入数据的中部从而占据左右两半部分。前两种情况可以递归地进行求解,第三种情况的最大和可以通过求出前半部分的最大和(包含前半部分的最后一个元素)以及后半部分的最大和(包含后半部分的第一个元素)而得到。然后将这两个和加在一起。作为一个例子,考虑如下的输入:
------------------------- 前半部分 | 后半部分 ------------------------- 4 -3 5 -2 -1 2 6 -2 -------------------------
其中前半部分的最大子序列和为 6(A1 –> A3),后半部分的最大子序列和为 8 (A6 –> A7)。
前半部分包含最后一个元素的最大和为 4 (A1 –> A4),后半部分包含其第一个元素的最大和为 7 (A5 –> A7)。因此,横跨这两部分且通过中间的最大和为 4 + 7 = 11 (A1 –> A7)。
于是,答案为 11。再来看看实现代码:
//主函数 static int MaxSubSum(const int A[], int Left, int Right) { int MaxLeftSum, MaxRightSum; int MaxLeftBorderSum, MaxRightBorderSum; int LeftBorderSum, RightBorderSum; int Center, i; if(Left == Right) /*基准情况*/ if(A[Left] > 0) return A[Left]; else return 0; /*处理递归*/ Center = (Left + Right) / 2; MaxLeftSum = MaxSubSum(A, Left, Center); MaxRightSum = MaxSubSum(A, Center + 1, Right); MaxLeftBorderSum = 0;LeftBorderSum = 0; for(i = Center; i >= Left; i --) { LeftBorderSum += A[i]; if(LeftBorderSum > MaxLeftBorderSum) MaxLeftBorderSum = LeftBorderSum; } MaxRightBorderSum = 0;RightBorderSum = 0; for(i = Center + 1; i <= Right; i ++) { RightBorderSum += A[i]; if(RightBorderSum > MaxRightBorderSum) MaxRightBorderSum = RightBorderSum; } //处理完毕,找出和最大的一个子序列 return Max3(MaxLeftSum, MaxRightSum, MaxLeftBorderSum + MaxRightBorderSum); } //调用函数 int MaxSubSequenceSum(const int A[], int N) { return MaxSubSum(A, 0, N - 1); } //比较函数 int Max3(int x, int y, int z) { return (((x > y)?x:y) > z)?((x > y)?x:y):z; }
3,使用一次 for 循环,算法复杂度为 O(N):
这个算法乍看上去不是很好理解,不过它的效率却是这三个当中最高的一个,仔细地琢磨的话会理解这个神奇的算法的:
int MaxSubSequenceSum(const int A[], int N) { int ThisSum, MaxSum, j; ThisSum = MaxSum = 0; for(j = 0; j < N; j ++) { ThisSum += A[j]; if(ThisSum > MaxSum) MaxSum = ThisSum; else if(ThisSum < 0) ThisSum = 0; } return MaxSum; }