求链表是否有环和第一个交点

这道题做起来简单，但是证明比较麻烦。自己的证明很可能有错误，还望指正。

 

一 是否有环

（1）用追击法，一个指针每次前进1步，另一个指针每次前进2步。

设链表中不包括环的长度为L1，环的长度为L2.

假设走s步之后相交，等价于   式（1）(s-L1)mod L2 = (2s-L1)mod L2有解。即s步之后相交<=>）(s-L1)mod L2 = (2s-L1)mod L2有解

由式（1）得到，n* L2+p=s-L1 (2)

                           m*L2+p=2s-L1 (3)

由（2）（3）得到 (m-n)L2=s （4）

由于s是可变的，上式显然有解。

算法为：一个指针每次前进1步，另一个指针每次前进2步。每次都对比，如果相同则表明相遇，如果到链尾则退出说明没相遇。

 

（2）而且，我们可以证明在一圈内即可追上。即算法复杂度为O(n)。

当L2>=L1，令s=（L1+k）=L2，保证式子（4）有解

 

 

当L1>L2，s=（L1+k）=n1 * L2,我们可以知道K可以小于L2(取K=L2-L1modL2)

 

 

二 求第一个交点

根据式子（4）=> (m-n-1)L2+L2=s => (m-n-1)L2+ P1+P2=L1+P1 <=> (m-n-1)L2+P2=L1

             (P1为定义第一个相交点到追击相遇点的长度，P2为相遇点到第一个相交点的长度，即P1+P2=L2)

这个式子表明链表中不包括环的长度 等于 相遇点到第一个相交点的长度加上环的长度的整数倍。

则算法为：一个指针从相遇点出发，一个指针从链表头开始，而第一次相遇的点即为第一个相交点。