图 详细讲解
1、为什么要有图
1、前面我们学了线性表和树
2、线性表局限于一个直接前驱和一个直接后继的关系
3、树也只能有一个直接前驱也就是父节点
3、当我们需要表示多对多的关系时， 这里我们就用到了图
2、图的举例说明
图是一种数据结构，其中结点可以具有零个或多个相邻元素。两个结点之间的连接称为边。 结点也可以称为顶点。如图：
3、图的常用概念
- 顶点(vertex)
- 边(edge)
- 路径
- 无向图(右图)
- 有向图
- 带权图
无向图：顶点之间的连接没有方向，比如A-B,
即可以是 A-> B 也可以 B->A .
路径： 比如从 D -> C 的路径有
- D->B->C
- D->A->B->C
有向图：顶点之间的连接有方向，比如A-B,
只能是 A-> B 不能是 B->A .
带权图：这种边带权值的图也叫网.
4、图的表示方式
图的表示方式有两种：二维数组表示（邻接矩阵）；链表表示（邻接表）。
邻接矩阵
邻接矩阵是表示图形中顶点之间相邻关系的矩阵，对于n个顶点的图而言，矩阵是的row和col表示的是1…n个点。
邻接表
- 邻接矩阵需要为每个顶点都分配n个边的空间，其实有很多边都是不存在,会造成空间的一定损失.
- 邻接表的实现只关心存在的边，不关心不存在的边。因此没有空间浪费，邻接表由数组+链表组成
说明:
1、标号为0的结点的相关联的结点为 1 2 3 4
2、标号为1的结点的相关联结点为0 4，
3、标号为2的结点相关联的结点为 0 4 5
…
5、图的快速入门案例
要求: 代码实现如下图结构.
5.1、代码实现
public void insertVertex(String value){
arrayList.add(value);
}
public void insertEdge(int v1,int v2,int vaue){
arrs[v1][v2]=vaue;
arrs[v2][v1]=vaue;
edge++;
}
6、图的深度优先遍历介绍
6.1、图遍历介绍
所谓图的遍历，即是对结点的访问。一个图有那么多个结点，如何遍历这些结点，需要特定策略，一般有两种访问策略: (1)深度优先遍历 (2)广度优先遍历
6.2、深度优先遍历基本思想
图的深度优先搜索(Depth First Search) 。
- 深度优先遍历，从初始访问结点出发，初始访问结点可能有多个邻接结点，深度优先遍历的策略就是首先访问第一个邻接结点，然后再以这个被访问的邻接结点作为初始结点，访问它的第一个邻接结点， 可以这样理解：每次都在访问完当前结点后首先访问当前结点的第一个邻接结点。
- 我们可以看到，这样的访问策略是优先往纵向挖掘深入，而不是对一个结点的所有邻接结点进行横向访问。
显然，深度优先搜索是一个递归的过程
6.3、深度优先遍历算法步骤
- 访问初始结点v，并标记结点v为已访问。
- 查找结点v的第一个邻接结点w。
- 若w存在，则继续执行4，如果w不存在，则回到第1步，将从v的下一个结点继续。
- 若w未被访问，对w进行深度优先遍历递归（即把w当做另一个v，然后进行步骤123）。
- 查找结点v的w邻接结点的下一个邻接结点，转到步骤3。
看一个具体案例分析:
要求：对下图进行深度优先搜索, 从A 开始遍历.
6.4、深度优先遍历代码实现
//深度优先遍历算法
public void dfs(int index,boolean[] isvisited){
System.out.println(arrayList.get(index));
isvisited[index]=true;
int w = getFirstNeibor(index);
while (w!=-1){
if (!isvisited[w]){
dfs(w,isvisited);
}
w= getNextNeibor(index,w);
}
}
public void dfs(){
isvisited=new boolean[arrayList.size()];
for (int i = 0; i < arrayList.size(); i++) {
if (!isvisited[i]){
dfs(i,isvisited);
}
}
}
7、图的广度优先遍历
7.1、广度优先遍历基本思想
图的广度优先搜索(Broad First Search) 。
类似于一个分层搜索的过程，广度优先遍历需要使用一个队列以保持访问过的结点的顺序，以便按这个顺序来访问这些结点的邻接结点
7.2、广度优先遍历算法步骤
- 访问初始结点v并标记结点v为已访问。
- 结点v入队列
- 当队列非空时，继续执行，否则算法结束。
- 出队列，取得队头结点u。
- 查找结点u的第一个邻接结点w。
- 若结点u的邻接结点w不存在，则转到步骤3；否则循环执行以下三个步骤：
6.1 若结点w尚未被访问，则访问结点w并标记为已访问。
6.2 结点w入队列
6.3 查找结点u的继w邻接结点后的下一个邻接结点w，转到步骤6。
7.3、广度优先代码实现
public void pfs(int index,boolean[] isvisited){
int u;
int w;
LinkedList queue=new LinkedList();
System.out.println(getIndex(index));
isvisited[index]=true;
queue.addLast(index);
while (!queue.isEmpty()){
u=(Integer)queue.removeFirst();
w = getFirstNeibor(u);
while (w!=-1){
if (!isvisited[w]) {
System.out.println(getIndex(w));
isvisited[w]=true;
queue.addLast(w);
}
w=getNextNeibor(u,w);
}
}
}
public void pfs(){
isvisited=new boolean[arrayList.size()];
for (int i = 0; i < arrayList.size(); i++) {
if (!isvisited[i]){
pfs(i,isvisited);
}
}
}
8、图的深度优先VS 广度优先
应用实例
graph.insertEdge(0, 1, 1);
graph.insertEdge(0, 2, 1);
graph.insertEdge(1, 3, 1);
graph.insertEdge(1, 4, 1);
graph.insertEdge(3, 7, 1);
graph.insertEdge(4, 7, 1);
graph.insertEdge(2, 5, 1);
graph.insertEdge(2, 6, 1);
graph.insertEdge(5, 6, 1);
- 深度优先遍历顺序为 1->2->4->8->5->3->6->7
- 广度优先算法的遍历顺序为：1->2->3->4->5->6->7->8
9、代码整合
package com.qf.graph;
import javax.jws.soap.SOAPBinding;
import java.util.ArrayList;
import java.util.LinkedList;
public class GrahpDemo {
public ArrayList<String> arrayList;
private int edge;
private int [][]arrs;
private boolean[] isvisited;
public static void main(String[] args) {
String [] arr={"1","2","3","4","5","6","7","8"};
GrahpDemo grahpDemo=new GrahpDemo(arr.length);
for (String s : arr) {
grahpDemo.insertVertex(s);
}
//A-B A-C B-C B-D B-E
grahpDemo.insertEdge(0, 1, 1);
grahpDemo.insertEdge(0, 2, 1);
grahpDemo.insertEdge(1, 3, 1);
grahpDemo.insertEdge(1, 4, 1);
grahpDemo.insertEdge(3, 7, 1);
grahpDemo.insertEdge(4, 7, 1);
grahpDemo.insertEdge(2, 5, 1);
grahpDemo.insertEdge(2, 6, 1);
grahpDemo.insertEdge(5, 6, 1);
grahpDemo.showGraph();
grahpDemo.pfs();
//grahpDemo.pfs();
}
public GrahpDemo(int n){
arrayList=new ArrayList<>();
arrs=new int[n][n];
}
public void insertVertex(String value){
arrayList.add(value);
}
public void insertEdge(int v1,int v2,int vaue){
arrs[v1][v2]=vaue;
arrs[v2][v1]=vaue;
edge++;
}
public int getEdge(){
return edge;
}
public int getNodes(){
return arrayList.size();
}
public void showGraph(){
for (int[] arr : arrs) {
for (int i : arr) {
System.out.print(i+" ");
}
System.out.println();
}
}
//查找结点v的第一个邻接结点w。
public int getFirstNeibor(int index){
for (int j=0;j<arrayList.size();j++){
if (arrs[index][j]>0){
return j;
}
}
return -1;
}
public int getNextNeibor(int v1,int v2){
for (int j=v2+1;j<arrayList.size();j++){
if (arrs[v1][j]>0){
return j;
}
}
return -1;
}
public String getIndex(int index){
return arrayList.get(index);
}
//深度优先遍历算法
public void dfs(int index,boolean[] isvisited){
System.out.println(arrayList.get(index));
isvisited[index]=true;
int w = getFirstNeibor(index);
while (w!=-1){
if (!isvisited[w]){
dfs(w,isvisited);
}
w= getNextNeibor(index,w);
}
}
public void dfs(){
isvisited=new boolean[arrayList.size()];
for (int i = 0; i < arrayList.size(); i++) {
if (!isvisited[i]){
dfs(i,isvisited);
}
}
}
public void pfs(int index,boolean[] isvisited){
int u;
int w;
LinkedList queue=new LinkedList();
System.out.println(getIndex(index));
isvisited[index]=true;
queue.addLast(index);
while (!queue.isEmpty()){
u=(Integer)queue.removeFirst();
w = getFirstNeibor(u);
while (w!=-1){
if (!isvisited[w]) {
System.out.println(getIndex(w));
isvisited[w]=true;
queue.addLast(w);
}
w=getNextNeibor(u,w);
}
}
}
public void pfs(){
isvisited=new boolean[arrayList.size()];
for (int i = 0; i < arrayList.size(); i++) {
if (!isvisited[i]){
pfs(i,isvisited);
}
}
}
}
