动态规划算法

1、应用场景-背包问题

背包问题：有一个背包，容量为4磅 ， 现有如下物品

1. 要求达到的目标为装入的背包的总价值最大，并且重量不超出
2. 要求装入的物品不能重复

2、动态规划算法介绍

1. 动态规划(Dynamic Programming)算法的核心思想是：将大问题划分为小问题进行解决，从而一步步获取最优解的处理算法

2. 动态规划算法与分治算法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。

3. 与分治法不同的是，适合于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是互相独立的。 ( 即下一个子阶段的求解是建立在上一个子阶段的解的基础上，进行进一步的求解 )

4. 动态规划可以通过填表的方式来逐步推进，得到最优解.

3、动态规划算法最佳实践-背包问题

背包问题：有一个背包，容量为4磅 ， 现有如下物品

要求达到的目标为装入的背包的总价值最大，并且重量不超出。

解决类似的问题可以分解成一个个的小问题进行解决，假设存在背包容量大小分为1，2，3，4的各种容量的背包(分配容量的规则为最小重量的整数倍)：

例如:

对于第一行(i=1), 目前只有吉他可以选择，所以

对于第二行(i=2),目前存在吉他和音响可以选择,所以

对于第三行(i=3),目前存在吉他和音响、电脑可以选择,所以

算法的主要思想，利用动态规划来解决。每次遍历到的第i个物品，根据w[i]和v[i]来确定是否需要将该物品放入背包中。即对于给定的n个物品，设v[i]、w[i]分别为第i个物品的价值和重量，C为背包的容量。再令v[i][j]表示在前i个物品中能够装入容量为j的背包中的最大价值。则我们有下面的结果：
(1)v[i][0]=v[0][j]=0; //表示 填入表 第一行和第一列是0
(2) 当w[i]> j 时：v[i][j]=v[i-1][j] // 当准备加入新增的商品的容量大于 当前背包的容量时，就直接使用上一个单元格的装入策略
(3) 当j>=w[i]时： v[i][j]=max{v[i-1][j], v[i]+v[i-1][j-w[i]]}

当 准备加入的新增的商品的容量小于等于当前背包的容量,
// 装入的方式:
v[i-1][j]： 就是上一个单元格的装入的最大值
v[i] : 表示当前商品的价值
v[i-1][j-w[i]] ： 装入i-1商品，到剩余空间j-w[i]的最大值
当j>=w[i]时： v[i][j]=max{v[i-1][j], v[i]+v[i-1][j-w[i]]} :

w[i] 和 j 之间的关系 推导…
案例一：v[1][1] = ? w[1] = 1 j = 1

w[1] = 1 j = 1 ，当j>=w[i]，1>=w[1]
这时v[i][j]=max{v[i-1][j], v[i]+v[i-1][j-w[i]]}，v[1][1]=max{v[i-1][1], v[1]+v[1-1][1-w[1]]}
v[1][1]=max{v[0][1], v[1]+v[0][0]}
v[1][1]=max{0, 1500+0}
v[1][1]=1500

4、动态规划算法最佳实践-背包问题-代码实现

package com.qf.dynimic;

public class PackageProblem {
    public static void main(String[] args) {
        //物品的重量
        int [] w={1,4,3};
        //物品的价格
        int[] val={1500,3000,2000};

        //背包的重量
        int n=4;

        //背包的初始设置
        int[][] v=new int[val.length+1][n+1];

        //记录装包的轨迹
        int[][] track=new int[val.length+1][n+1];

        dynamic(v,w,val,track);
    }

    public static void dynamic(int[][] v,int [] w,int[] val,int[][] track){
        for (int i = 0; i < v.length; i++) {
            for (int j = 0; j < v[0].length; j++) {
                v[i][0]=0;
                v[0][j]=0;
            }
        }

        for (int i = 1; i < v.length; i++) {
            for (int j = 1; j < v[0].length; j++) {
                if (w[i-1]>j){
                    v[i][j]=v[i-1][j];
                }else{
                    if (val[i-1]+v[i-1][j-w[i-1]]>v[i-1][j]){
                        v[i][j]=val[i-1]+v[i-1][j-w[i-1]];
                        track[i][j]=1;
                    }else{
                        v[i][j]=v[i-1][j];
                    }
                }
            }
        }

        int i=track.length-1;
        int j=track[0].length-1;

       while (i>0&&j>0){
            if (track[i][j]>0){
                j=j-w[i-1];
                System.out.println("加入背包价值为："+val[i-1]);
            }
            i--;
        }
    }

}