普里姆算法

1、应用场景-修路问题

看一个应用场景和问题：

1. 有胜利乡有7个村庄(A, B, C, D, E, F, G) ，现在需要修路把7个村庄连通
2. 各个村庄的距离用边线表示(权) ，比如 A – B 距离 5公里
3. 问：如何修路保证各个村庄都能连通，并且总的修建公路总里程最短?
   思路: 将10条边，连接即可，但是总的里程数不是最小.
   正确的思路，就是尽可能的选择少的路线，并且每条路线最小，保证总里程数最少.

2、最小生成树

修路问题本质就是就是最小生成树问题， 先介绍一下最小生成树(Minimum Cost Spanning Tree)，简称MST。

1. 给定一个带权的无向连通图,如何选取一棵生成树,使树上所有边上权的总和为最小,这叫最小生成树
2. N个顶点，一定有N-1条边
3. 包含全部顶点
4. N-1条边都在图中
   举例说明(如图:)
   求最小生成树的算法主要是普里姆算法和克鲁斯卡尔算法
   

3、普里姆算法介绍

1. 普利姆(Prim)算法求最小生成树，也就是在包含n个顶点的连通图中，找出只有(n-1)条边包含所有n个顶点的连通子图，也就是所谓的极小连通子图

2. 普利姆的算法如下:

3. 设G=(V,E)是连通网，T=(U,D)是最小生成树，V,U是顶点集合，E,D是边的集合

4. 若从顶点u开始构造最小生成树，则从集合V中取出顶点u放入集合U中，标记顶点v的visited[u]=1

5. 若集合U中顶点ui与集合V-U中的顶点vj之间存在边，则寻找这些边中权值最小的边，但不能构成回路，将顶点vj加入集合U中，将边（ui,vj）加入集合D中，标记visited[vj]=1

6. 重复步骤②，直到U与V相等，即所有顶点都被标记为访问过，此时D中有n-1条边
   提示: 单独看步骤很难理解，我们通过代码来讲解，比较好理解.

4、普里姆算法图片解析

5、普里姆算法代码实现

package com.qf.prim;

public class PrimAlgorithm {

    public static void main(String[] args) {
        char[] data={'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};
        int [][]weight=new int[][]{
                {10000,5,7,10000,10000,10000,2},
                {5,10000,10000,9,10000,10000,3},
                {7,10000,10000,10000,8,10000,10000},
                {10000,9,10000,10000,10000,4,10000},
                {10000,10000,8,10000,10000,5,4},
                {10000,10000,10000,4,5,10000,6},
                {2,3,10000,10000,4,6,10000}};
        Mgraph mgraph=new Mgraph(data.length);
        MiniTree miniTree=new MiniTree();
        miniTree.createMiniTree(mgraph,data,weight);
        miniTree.showMiniTree(mgraph);
        miniTree.prim(mgraph,2);
    }


}
class MiniTree{
    public MiniTree(){};

    /**
     * 创建最小树
     * @param mgraph
     * @param data
     * @param weight
     */
    public void createMiniTree(Mgraph mgraph,char[] data,int [][] weight){
        for (int i = 0; i < mgraph.vert; i++) {
            mgraph.data[i]=data[i];
            for (int j = 0; j < mgraph.vert; j++){
                mgraph.weight[i][j]=weight[i][j];
            }
        }
    }

    /**
     * 展示最小树
     * @param mgraph
     */
    public void showMiniTree(Mgraph mgraph){
        for (int[] ints : mgraph.weight) {
            for (int anInt : ints) {
                System.out.print(anInt+" ");
            }
            System.out.println();
        }
    }

    public void prim(Mgraph mgraph,int v){
        //从第几个字符开始访问
        //已访问表
        int visit[]=new int[mgraph.vert];
        visit[v]=1;
        int weight=10000;
        int h1=-1;
        int h2=-1;

        for (int k=1;k<mgraph.vert;k++){

            for (int i = 0; i < mgraph.vert; i++) {
                for (int j = 0; j < mgraph.vert; j++) {
                    if (visit[i]==1&visit[j]==0&weight>mgraph.weight[i][j]){
                        h1=i;
                        h2=j;
                        weight=mgraph.weight[i][j];
                    }
                }
            }
            System.out.println("边<"+mgraph.data[h1]+"  "+mgraph.data[h2]+">"+"权重为："+mgraph.weight[h1][h2]);
            weight=10000;
            visit[h2]=1;
        }
    }
}
class Mgraph{
    int vert;   //顶点个数
    char[] data;    //字符数据
    int [][] weight;    //邻接矩阵来表示权重

    public Mgraph(int vert){
        this.vert=vert;
        this.data=new char[vert];
        this.weight=new int[vert][vert];
    }
}