拆分自然数：纯while实现 (Part 1 - 思路)

关于Jeff的《编程小练习：拆分自然数》问题，在此我提供一种思路，希望大家理解这种思路后能够自己把答案写出来。

我先问大家一个问题，写一个函数按顺序输出所有的4位二进制数（即：0000, 0001, 0010, 0011, ..., 1110, 1111），你会怎么写？ 如果把固定4位变成任意n位，你又会怎么写？我知道那些会写高精度加法的人会跳出来说，就做一个高精度的二进制加法，Array的每一位保存二进制数的每一位，每次在末尾加1，然后让高精度加法自己处理进位，最后打印结果。老实说，我也做过这种蠢事，直到我在高中的一次竞赛中看到了一种比较巧妙的做法：（我最近一年都是写JavaScript，所以我在这里就用JavaScript写了）

function main(n) {
    var array = new Array(n);
    var i = 0;
    
    var write = function() {
        console.log(array.join(''));
    };
    
    var scan = function() {
        return array[i] == 1;
    };
    
    var step = function() {
        array[i] = 1;
        i++;
    };
    
    var fill = function() {
        while (i < n) {
            array[i] = 0;
            i++;
        }
        i--;
    };
    
    fill();
    write();
    while (true) {
        while (i >=0 && scan()) {
            i--;
        }
        if (i < 0) {
            break;
        }
        step();
        fill();
        write();
    }
}

如果你一眼就能看明白这是怎么做的，我相信你能够立即理解为什么我跟Jeff说两重while能够解决问题，因为本质上是相同的问题。（如果你不熟悉JavaScript的闭包概念的话，你可以认为array和i是全局变量，在write、scan、step、fill以及main的主逻辑中用到的array和i都是指同一个东西。）

道理其实很简单，根本不需要考虑使用加法，只需要用while从低位开始遍历，找到第一个为0的位（scan），把它置为1（step），然后再回过头来把比它低的位都由1置为0就可以了（fill）。例如1001110011，它从低位数起的第一个值为0的位是百位（如果用十进制数的叫法的话），把它置为1就成了1001110111，然后再把比它低的位都置为0，那就成了1001110100。

简单吧？那么我们再来考虑一个略作修改的问题。写一个函数，按顺序输出所有含有2个1的4位二进制数（即：0011, 0101, 0110, 1001, 1010, 1100），你会怎么写？如果把固定的2和4这两个条件换成任意的m和n，你又会怎么写？

function main(m, n) {
    var array = new Array(n);
    var i = 0;
    
    var write = function() {
        console.log(array.join(''));
    };
    
    var scan = function() {
        if (scan.start) {
            scan.start = false;
            scan.sum = 0;
        }
        scan.sum += array[i];
        return (array[i] == 1 || scan.sum == 0);
    };
    
    var step = function() {
        array[i] = 1;
        fill.sum = scan.sum - 1;
        i++;
    };
    
    var fill = function() {
        while (i < n - fill.sum) {
            array[i] = 0;
            i++;
        }
        while (i < n) {
            array[i] = 1;
            i++;
        }
        i--;
    };
    
    fill.sum = m;
    fill();
    write();
    while (true) {
        scan.start = true;
        while (i >=0 && scan()) {
            i--;
        }
        if (i < 0) {
            break;
        }
        step();
        fill();
        write();
    }
}

还是类似的写法，用while从低位开始遍历，找到第一个为1的位，再找它之后第一个为0的位（scan），把它置为1（step），然后再回过头来填充比它低的位（fill）。这次填充逻辑要复杂一些，它需要知道刚才scan跳过了多少个为1的位，把这些1都填充到较低位，而较高位用0填充。

大家应该能够注意到，第二道题的main代码主题逻辑是和第一道题的几乎一致的，改变的只是scan、step、fill。main代码的主逻辑不同之处在于，scan多了一个start的状态，用于每一轮scan开始的时候初始化sum。此外，scan与fill之间多了一个sum的共享状态。实际上，我们可以对第一道题的scan、step、fill略作修改，容忍掉无用的start与sum状态，使得它们能够运行在第二道题的main代码主逻辑中。

这是一种什么模式？策略模式。main代码主逻辑按照固定的方式进行scan、step、fill。对于类似的题目，你只要写出正确的scan、step、fill就可以了，main代码的主逻辑完全不需要动。我所出的第二道题，其实是对Jeff题目特化。特化的地方在于，Jeff的题目要求能够接受sum, n, min, max，而我的题目把sum等同为m，把min特化为0，把max特化为1。此外，Jeff要求排除重复的组合，换句话说，就是得到的序列要求是不下降序列，但如果我的题目也如此限制为不下降序列的话，解就永远只有一个了（例如，m=2且n=4时，不下降序列就只有0011），因此我把这个限制条件去掉了。

总的来说，Jeff的题目与我所说的这两道题本质上是相同的，你想要解答Jeff的题目，只需要在我给出的main代码主逻辑基础上写出正确的scan、step、fill就可以了。具体的解答我稍后给出，大家可以先自己尝试写一下。