P1226 【模板】快速幂 题解

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注：应要求，本篇题解分为简介、思路、代码三个部分。

简介

所谓“快速幂”，顾名思义，就是快速地算出 $a^b$ 的值。

正常人在刚学习了循环结构时，如果需要求 $a^b$，就会循环 $b$ 次计算。但当 $0\le b<2^{31}$ 时，事情就不一样了。很明显，它会超时。

快速幂则是一个 $O(\log n)$ 的求幂算法。

那么如何让 $O(n)$ 秒变 $O(\log n)$ 呢？请看VCR。

思路

在初一学到幂的时候，我们会知道一个运算法则：

$a^x+a^y=a^{x+y}$

那么我们就可以考虑把 $a^b$ 拆了。以 $3^{13}$ 举例，它就可以拆成 $3^8\times 3^4\times 3^1$ 的形式。

这时我们就能看出，这不就是在求 $b$ 二进制形式吗？！嗯，那就简单了。只需要同过取余法转化进制就行了。

代码

有点懵就看代码注释吧。

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long	//十年OI一场空，不开long long见祖宗 
using namespace std;

int n,m,a,b,ans=1,mod;
signed main()
{
	cin>>n>>m>>mod;
	a=n;
	b=m;							//输出要用，先存一下 
	while(m)						//当m还能再转化成二进制 
	{
		if(m%2) ans=(ans*n)%mod;	//如果这一位为1，那么就乘上这一位的对应值——a^(2^m) 
		n=(n*n)%mod;				//计算下一位的位值 
		m/=2;						//正常转化二进制 
	}
	cout<<a<<"^"<<b<<" mod "<<mod<<"="<<ans%mod;	//输出不要忘了取余 
	return 0;
}