01串1: count 1
source: arc137_b
给定一个长度为 \(n\) 的由 \(0,1\) 组成的整数序列 \(A=(A_1,A_2,\cdots,A_n)\) 。你可以做以下的操作一次且仅一次：
- 选择 \(A\) 的一个连续的子段，对该子段进行反转操作，也就是将 \(0\) 变成 \(1\) ,将 \(1\) 变成 \(0\) 。注意，你可以选择一个空字段，这就相当于你什么都没有做。
最后 \(A\) 中的 \(1\) 的个数，是你能获得的分数。请问你有多少种可能的得分。
样例 #1
样例输入 #1
4
0 1 1 0
样例输出 #1
4
样例 #2
样例输入 #2
5
0 0 0 0 0
样例输出 #2
6
样例 #3
样例输入 #3
6
0 1 0 1 0 1
样例输出 #3
3
提示
- $ 1\ \leq\ N\ \leq\ 3\ \times\ 10^5 $
- $ 0\ \leq\ A_i\ \leq\ 1 $
analysis:
首先，这道题修改一下问题，通过一次区间修改，可以得到最多的1的个数是多少。
我们可以暴力的去想，枚举[l,r],进行翻转，原始序列中1的个数sum, 要减去区间内1的个数，加上区间内0的个数。我们可以用前缀和o(1)求出区间内0的个数和1的个数。然后减去1的个数，加上0的个数。求一个max，$n^2$60分。
减去区间内1的个数，加上区间内0的个数，就是+1，-1操作。
于是有：假设你取了一段区间 [l,r]，无论你下次取 [l−1,r]、[l+1,r]、[l,r−1] 还是 [l,r+1]，都会对 ans 产生 1 的影响。这样的结论。
那么ans 的取值范围肯定是一段连续的正整数。
我们将原始序列中是1的地方，设b[]数组为-1，原数组是0的地方b[]数组是1。
原始序列中1的个数sum + b数组最大连续和，即为一次区间修改后的最多1的个数值。
同理，sum + b数组最小连续和，即为一次区间修改后的最少1的个数值。
最小～最大，就是得分的种类。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
int n, a[300005], b[300005], maxn, minn, ansmax, ansmin;
int main() {
scanf("%d", &n);
for (int i = 1; i <= n; i++)
scanf("%d", &a[i]), b[i] = b[i - 1] + (a[i] == 0 ? 1 : -1);
for (int i = 1; i <= n; i++) {
ansmax = max(ansmax, b[i] - minn);
//b[i]-minn 就是以当前节点为结尾所能产生的最大值
ansmin = min(ansmin, b[i] - maxn);
//b[i]-maxn 就是以当前节点为结尾所能产生的最小值
maxn = max(maxn, b[i]);
minn = min(minn, b[i]);
}
printf("%d", ansmax - ansmin + 1);
return 0;
}
01串2:「KDOI-07」n1gr tS0i
source: P10877 「KDOI-07」n1gr tS0i
题目背景
众所周知，小 T 不喜欢 01 串问题，于是小 R 出了另一个有关 01 串的题目：
题目描述
有一个长度为 \(n\) 的 \(\tt 01\) 串 \(S\)，你要对 \(S\) 进行 恰好 \(n\) 次操作。每次操作选择 \(1 \leq l \color{red}< \color{normal} r \leq n\)，然后你按位翻转 \(S_{l\dots r}\)。这里的按位翻转指，\(S_{l\dots r}\) 内所有 \(\tt 0\) 同时变为 \(\tt 1\)，且所有 \(\tt 1\) 同时变为 \(\tt 0\)。
求 \(n\) 次操作后，所有可能不同的 \(S\) 的个数。因为答案可能很大，所以请对 \(998244353\) 取模。
输入格式
本题有多组数据。
第一行一个整数 \(T\) 描述数据组数。对于每组数据：
- 第一行一个整数 \(n\)。
- 接下来一行，一个长度为 \(n\) 的 \(\tt 01\) 串 \(S\)。
输出格式
对于每组数据，一行一个整数，表示答案，对 \(998244353\) 取模后的结果。
样例 #1
样例输入 #1
2
2
01
30
101001001010100110101101011110
样例输出 #1
1
75497471
提示
样例解释
- 对于 \(n = 2\)，\(S = \tt 01\)，我们会发现每次操作只能选择 \(l = 1, r = 2\) 即反转整串，因此 \(2\) 次操作后只能得到 \(\tt 01\)，故答案为 \(1\)；
- 对于第二组数据，暂时不能给你一个明确的答复。
数据规模与约定
本题采用捆绑测试。
| \(\text{Subtask}\) | \(n\le\) | 分数 |
|---|---|---|
| \(1\) | \(4\) | \(30\) |
| \(2\) | \(10^5\) | \(70\) |
对于所有数据，保证 \(2 \leq n \leq 10^5\)，\(\sum n \leq 10^6\)，\(1 \leq T \leq 10^4\)。
Analysis:
这里有一个很重要的条件L<R,如果L等于R,是不是每一个01序列都可以有\(2^n\)种。现在尝试找规律：
我们可以用两次操作将一个n>=4的序列任意一位通过两次变化变为0或者1，比如“10110”的第4位，我想让它变成0，可以将它放在一个三位区间的最右侧，就是[011]，这样，我们将这个区间翻转成100，那么第4位的1已经变成0了，达到我们的预期了。但是前两个数字也被我们修改了，于是我们把[10]再次翻转，就变成了原来的[01]。如果我想让第4位不变，只需要翻转包含它的两位数字两次，相当于没有修改。
如果要修改两位，其余都不变，比如10110中的[11],也是可以两次，[1011]变成[0100]再变成[1000]。
这个序列一定是要更改一些连续区间段，[]...[]....[],每一个连续区间段至少可以用2次更改，最多分成n/2个区间段，这样有2*n/2去更改成对立状态。
总状态是2^n.
如果n==3,则中间的哪位没有办法用上述方法修改。因为修改的数字要放在区间的边上。
n<=3的单独算一下即可。
