模拟4题解 T1礼物

 T1

---

题目描述

夏川的生日就要到了。作为夏川形式上的男朋友，季堂打算给夏川买一些生 日礼物。

商店里一共有种礼物。夏川每得到一种礼物，就会获得相应喜悦值Wi（每种 礼物的喜悦值不能重复获得）。

每次，店员会按照一定的概率Pi（或者不拿出礼物），将第i种礼物拿出来。 季堂每次都会将店员拿出来的礼物买下来。没有拿出来视为什么都没有买到，也 算一次购买。

众所周知，白毛切开都是黑的。所以季堂希望最后夏川的喜悦值尽可能地高。

求夏川最后最大的喜悦值是多少，并求出使夏川得到这个喜悦值，季堂的期 望购买次数。

 

输入格式

第一行，一个整数N，表示有N种礼物。

接下来N行，每行一个实数Pi和正整数Wi，表示第i种礼物被拿出来的概率和 可以获得喜悦值。

 

输出格式

第一行，一个整数表示可以获得的最大喜悦值。

第二行，一个实数表示获得这个喜悦值的期望购买次数，保留3位小数。

 

样例

样例输入

3
0.1 2
0.2 5
0.3 7

样例输出

14
12.167

 

数据范围与提示

对于10%的数据，N = 1
对于30%的数据，N ≤ 5
对于100%的数据，N ≤ 20 ，0 < Wi ≤ 10^9 ，0 < Pi ≤ 1且∑Pi ≤ 1

---

  [概率与期望][状压DP]

n<=20所以很显然的状态压缩，

定义f[s]为状态为s时的还要走的期望步数

则f[(1<<n)-1]为 0，f[0]为所求

倒着推

f[i]=Σf[j]*q[k]+(1-Σq[k])*f[i]+1;

i 当前状态，j 转移过来的状态，Σ为 枚举i中的某一个0由1转移过来，k为之一位

显然i可由 1，以q[k]的概率买到i，和以1-Σq[k]的概率恰好碰到到已有的或没有拿出来（此时转移由i过来）的状态组成;

对于  101010

可由 111010，101110，101011 这三种状态+（1-Σq[k]绿色的1的概率）不买k的状态，转移过来

那为什么正着推不行？

当正着推时，状态转移方程中1-Σq[k]无含义，故不成立;

 

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
const double eps=1e-12;
double p[22];
int n;
long long sum=0;
double f[1<<21];
int cot(int x)
{
    int ret=1;
    while(x&1)
    {
        x>>=1;
        ret++;
    }
    return ret;
}

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int x;
        scanf("%lf%d",&p[i],&x);
        if(p[i]<eps)continue;
        sum+=x;
    }
    if(n==1)
    {
        printf("%lld\n",sum);
        double ans=1/p[1];
        printf("%.3lf",ans);
    }
    else
    {
        int mx=1<<n;
        f[mx-1]=0; 
        for(int i=mx-2;i>=0;i--)
        {    
            double tot=0.0,fs=0.0;
            int t;
            for(int k=i;k<mx;k+=(1<<(t-1)))
            {
                t=cot(k);
                fs+=f[i|(1<<(t-1))]*p[t];
                tot+=p[t];
            }
            f[i]=(fs+1.0)/tot;
        }
        printf("%lld\n%.3lf",sum,f[0]);
    }
}