[BZOJ2111] Perm 排列计数

[组合数学T2]  [递推]

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数学知识：

1.费马小定理：a^p-1≡1(mod p)   （a任意整数，p质数） （详细讲解 https://www.cnblogs.com/zylAK/p/9569668.html）

（简单证明：由欧拉定理 a^φ（n）≡ 1（mod n） （正整数a，n互质） n为质数，φ(n)=n-1）

应用：由a^p-1≡1(mod p)   得 a*a^p-2≡1  即  inv[a]=a^p-2(mod p)

 

2.lucas定理/组合数取模： 

（https://www.cnblogs.com/fzl194/p/9095177.html）（https://blog.csdn.net/cutedumpling/article/details/81840047）

lucas定理：

lucas定理用于求C（n，m）mod p（p为质数）  的值

lucas(n,m,p)=C(n%p,m%p)*lucas(n/p,m/p,p)%p     递归出口lucas（n，0，p）返回1

 

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 题目传送门

题目描述

称一个1,2,...,N的排列P1,P2...,Pn是Magic的，当且仅当2<=i<=N时，Pi>Pi/2. 计算1，2，...N的排列中有多少是Magic的，答案可能很大，只能输出模P以后的值

 

输入格式

输入文件的第一行包含两个整数 n和p，含义如上所述。

 

输出格式

输出文件中仅包含一个整数，表示计算1,2,?, ???的排列中， Magic排列的个数模 p的值。

 

样例

样例输入

20 23

样例输出

16

 

数据范围与提示

100%的数据中，1 ≤ ??? N ≤ 106, P??? ≤ 10^9，p是一个质数。 数据有所加强

 

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题解  （题解参考 https://blog.csdn.net/yanzhenhuai/article/details/80615615）

1.Pi>P(i/2)  对于i=4，5 ，P(i/2)都是2， 所以对于所有的数连边，可以看成一个小根堆。

2.定义   F[i] :以i为子树，含有majic的个数;

　　　　　显然最后输出结果 F[1];

3.定义size[i] :以i为子树的节点个数  倒着循环处理size

　　　　　　size[i]=size[i<<1]+size[i<<1|1]+1;

4.F[i]的转移：  首先根据分步乘法原理，若左右子树互不影响，则节点i的方案数=左子树的方案数×右子树的方案数

　　　　但由于对于下图

　　　　

　　　　若将4，5，6节点交换位置仍符合要求

　　　　所以考虑组合数    对于1来说，右子树的组成可以是  从size[1]-1（不算1自己）个节点中的选出size[i<<1]个节点的情况数

　　　　　　　　　　　　所以在原来结果上乘$C_{size[i]-1}^{size[i<<1]}$

　　　　　　　　　　　　即F·[i]=F[i<<1]*F[i<<1|1]*$C_{size[i]-1}^{size[i<<1]}$

　　　　　　　　　　　　倒着循环进行递推即可

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#define ll long long
using namespace std;

const ll maxn=2000005;
int n,mod;
ll size[maxn],f[maxn];
ll poww(ll a,ll b,ll p)
{
    ll ans=1;
    a%=p;
    while(b)
    {
        if(b&1)  ans=ans*a%p;
        b>>=1;
        a=a*a%p;
    }
    ans%=p;
    return ans;
}
ll inv(ll x)
{
    return poww(x,mod-2,mod);
}
ll  C(ll x,ll y)
{
    if(x<y) return 0;
    if(y>x-y)  y=x-y;
    ll up=1,down=1;
    for(ll i=x-y+1;i<=x;i++)  up=up*i%mod;
    for(ll i=1;i<=y;i++)   down=down*i%mod;
    return up*inv(down)%mod;
}
ll lucas(ll x,ll y)
{
    if(y==0)  return 1;
    return C(x%mod,y%mod)*lucas(x/mod,y/mod)%mod;
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&mod);
    for(ll i=n;i>=1;i--)
        size[i]=size[i<<1]+size[i<<1|1]+1;
    for(ll i=1;i<=maxn;i++)
        f[i]=1;
    for(ll i=n;i>=1;i--)
        f[i]=(f[i<<1]*f[i<<1|1])%mod*lucas(size[i]-1,size[i<<1])%mod;
    printf("%lld\n",f[1]);
}