线性相关性，基，维数

麻省理工线性代数笔记

第九讲：线性相关性，基，维数

1. 线性无关性：对若干个向量\(x_1,x_2,x_3...x_n\)，当除了系数都为0的线性组合之外不存在使这些向量的线性组合结果等于零向量的线性组合时，这些向量线性无关。
2. 向量张成\((span)\)的空间：向量空间是对\(8\)种运算封闭的向量的集合，这\(8\)种运算中有两种运算较为常见：\(数乘、加法\)，由于数乘的存在，\(任何向量空间都需要包括零向量\)，否则乘以\(0\)之后形成的零向量就不处于集合中了。封闭的意思是，运算的结果仍然处于该集合中。
   某个向量空间的子空间是该向量空间的子集，同时它也是一种向量空间。
3. 基\((base)\)：对于向量组\(v_1、v_2、v_3...v_d\)如果是一组基，则它们需要满足：
   1.它们是线性无关的。2.向量维数为\(d\)，即\(v \in R^{d}\)。
4. 检验是否是一组基的方法：这组基形成的矩阵\(A \in R^{n\times n}\)是一个可逆矩阵，即\(n=r\)。
5. 空间内任意个基的个数相同，基的个数被称为空间的维数\((dimension)\)。
6. \(dim C(A)=r\)秩是列空间的维度，\(dim N(A)=n-r\)自由变量的个数是零空间的维度。

\[秩-零化度定理：dim C(A)+dim N(A)=n \]