可解性与解的结构
麻省理工线性代数笔记
第八讲：可解性与解的结构
- 增广矩阵：\(Ax=b\)问题的增广矩阵是\(\begin{pmatrix} A &b\\ \end{pmatrix}\)。
- 可解性：\(Ax=b\)有解，当且仅当\(b \in C(A)\)，其中\(C(A)\)是\(A\)的列空间。
- 找到\(Ax=b\)的全部解：
第一步，求特解\(x_p\)：①：将\(A\)消元为行阶梯矩阵，这个过程中\(b\)需要与\(A\)同步变换。②将所有的自由变量设为0。③解出所有的主元变量，形成一个特解，如\(\begin{pmatrix} -2\\ 0\\ 5/2\\ 0 \end{pmatrix}\)就是一个将自由变量\(x_2\)与\(x_4\)设为0取得的特解。
第二步：通解=特解+零空间中的向量。解释：对特解\(x_p\)，其中\(p\)表示\(particular\)，\(Ax_{p}=b\)。对零空间中的向量\(x_n\)，其中\(n\)表示\(nonspace\)，\(Ax_{n}=0\)，\(A(x_p+x_n)=0+b=b\)，分配律对向量与矩阵乘法是适用的。在图像的直观理解上，所有解所张成的空间是零空间根据特解向量进行了一个“漂移”。 - 行秩、列秩：消元过程中如果一行被全部变为0，这就意味着这行可以被其他行线性表示，采取行变换得到的秩\(rank_{row}\)=采取列初等变化得到的秩\(rank_{column}\)。
- \(Ax=0\)的自由变量的个数=\(A\)的列数-\(A\)的秩，而秩是每一行中第一个不为0的数，因此每一行最多被用一次。在消元中，每一个主元下的所有元素都被变为了0，因此每一列最多被用一次，综上，秩同时被行数与列数这两者中较小的那一个限制，\(rank_{max}=min(row_{A},column_{A})\)。
- \(m \times n\)矩阵\(A\)的秩为\(r\)，记作\(r\)，则\((r \le m,r \le n)\)。
- 对\(Ax=b\)，其中\(A \in R^{m \times n}\)，\(x \in R^{n}\)，\(b \in R^{m}\)，方程若要有解，则\(b\)应当是\(A\)的\(n\)列的线性组合。
\(对Ax=b：\)
\(最简型，是关键，有解就看下方0。\)
\(下0就可能无解，零空间看自由列。\)
\(有列有解解无数，有列无解解0个\)
\(无列有解解1个，无列无解解0个。\) - 列满秩：即\(r=n \le m\)，列数是较小那个，消元之后，行有剩余。行最简型\(R\)=\(\begin{pmatrix}
I\\
0
\end{pmatrix}
\)。
矩阵每一列都有主元，问题转换为\(Rx=\begin{pmatrix} I\\ 0 \end{pmatrix}x=b\)。此时要使\(R\)的\(n\)列的线性组合等于\(b\)，然而\(R\)的倒数\(m-r=m-n\)行都是0，此时若\(b\)的倒数\(m-r\)行全为0，则存在一个解，若出现非\(0\)元素，则无解。
零空间只包含零向量：此时自由列的数量=自由变量的数量=0，则\(N(A)\)只包含零向量。
\[列满秩有0或1个解，零空间为零向量
\]
- 行满秩：即\(r=m \le n\)，行数是较小那个，消元之后，列有剩余。行最简型\(R\)=\(\begin{pmatrix}
I与F混杂
\end{pmatrix}\)。
矩阵\(A\)的每一行都有主元。问题转换为\(Rx\)=\(\begin{pmatrix} I与F混杂 \end{pmatrix}x=b\)，此时，对于任何\(b\)只要使\(x\)中对应主列的值等于\(b\)的各元素，则都能构造一个解。即\(Ax=b\)对任意\(b\)都有解。
零空间是一个\(n-r=n-m\)维的子空间。
\[行满秩有无数个解，零空间为n-r维子空间
\]
- 行与列都满秩：\(r=m=n\)，此时首先可知\(A\)是方阵，此时，行最简型是单位阵\(I\)，消元之后，行与列都不会有剩余。此时\(Ax=b\)有唯一解，此时\(A\)是可逆矩阵。
\[行列都满秩有1个解，零空间为零向量
\]
- 行与列都不满秩：\(r<m,r<n\)，消元之后，既有剩余行，也有剩余列。
行最简型\(R=\)\(\begin{pmatrix} I与F混杂 \\ 0 \end{pmatrix}\)。
此时，问题转化为\(Rx\)=\(\begin{pmatrix} I与F混杂 \\ 0 \end{pmatrix}x=b\)。此时若\(b\)出现列满秩中无解的情况，则无解。若\(b\)满足列满秩中有解的情况，则问题转化为行满秩问题，此时则有无数组解。
\[都不满秩则有0或无数组解，零空间为n-r维子空间
\]
