堆排序(大小根堆实现)
堆排序
堆排序的基本思想:
- 对于一组待排序数据,首先按堆的定义建立初始堆(大根堆或小根堆);
- 取出堆顶元素(最大或最小),将剩余的元素继续调整成新堆,就得到次大或次小元素;
- 反复执行 1、2 ,直到全部元素排序成顺序或逆序,堆排序结束
堆的定义
对于 n 个元素的序列 {K1, K2, …, Kn},当且仅当满足下列关系时称为堆,其中 2i 和 2i +1应不大于 n
其中,1 <= i <= n/2
当任意 K[i] 都小于 K[2i] 和 K[2i + 1] 时,为小根堆
当任意 K[i] 都大于 K[2i] 和 K[2i + 1] 时,为大根堆
堆排序
堆排序是一种树形选择排序,可以将待排序数组看成是一个完全二叉树,则由堆的定义表明,该完全二叉树中,所有非叶子节点的值都不大于(或不小于)其左、右孩子节点的值。
因此,在一个堆中,堆顶元素(二叉树根节点)必定为该序列中的最大(或最小)元素。
所以堆排序就是,先构造堆,取堆顶元素,再构造新堆,重复这一过程,直到排序完成
假设待排序数组为:N = {55, 60, 40, 10, 80, 65, 15, 5, 75}; 结构如下:
构造大根堆
构造大根堆,要使得该二叉树中所有非叶子节点的值都大于其左右节点,及使节点 1、2、3、4 的值都大于左右孩子节点。
初始化大根堆过程示意图:
/*
N 为待排序数组, target 为需要调整的非叶子节点
n 为节点个数
*/
void AdjustMaxHeap(int N[], int target, int n) {
int i = target;
int j = 2 * i + 1;
int temp = N[i];
while(j <= n) {
if(j < n && N[j] < N[j + 1]) { // 找出左右孩子的最大值
j++;
}
if(temp < N[j]) { // 不满足大根堆则交换元素值
N[i] = N[j];
i = j;
j = 2 * j + 1;
}
else {
break;
}
}
N[i] = temp;
}
构造小根堆
构造小根堆,要使得该二叉树中所有非叶子节点的值都小于其左右节点,及使节点 1、2、3、4 的值都小于左右孩子节点。
void AdjustMinHeap(int N[], int target, int n) {
int i = target;
int j = 2 * i + 1;
int temp = N[i];
while(j <= n) {
if(j < n && N[j] > N[j + 1]) { // 找出左右孩子的最小值
j++;
}
if(temp > N[j]) { // 不满足小根堆则交换元素值
N[i] = N[j];
i = j;
j = 2 * j + 1;
}
else {
break;
}
}
N[i] = temp;
}
实现堆排序
取堆顶元素,调整新堆过程示意图:
void HeapSort(int N[], int n) {
int i;
// 构造大根堆,元素从 0 开始
for(i = n/2 - 1; i >=0; i--) {
AdjustMaxHeap(N, i, n - 1);
}
int temp;
// 取堆顶元素,重新构造新堆
for(i = n - 1; i > 0; i--) {
temp = N[0];
N[0] = N[i];
N[i] = temp;
AdjustMaxHeap(N, 0, i - 1);
}
}
测试代码
void test() {
int N[] = {55, 60, 40, 10, 80, 65, 15, 5, 75};
HeapSort(N, 9);
int i;
for(i = 0; i < len; i++) {
printf("%d ", N[i]);
}
printf("\n");
}
测试结果:
E:\C_demo>heapsort.exe
5 10 15 40 55 60 65 75 80
算法复杂度
- 空间复杂度:堆排序只需一个记录大小的辅助空间,为 O(1)
- 时间复杂度:堆排序的算法时间由建立初始化堆和不断调整堆这两部分时间构成,为O(nlogn)
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